第1个回答 2022-07-26
自然和自然的规律隐藏于茫茫黑夜之中。上帝说：让牛顿降生吧。于是一片光明。——Alexander Pope
上帝又说：还要有阳光，于是便有了 麦克斯韦方程组 。
Nature and Nature's laws lay hid in night. God said 'Let Newton be!' and all was light.
And God Said Maxwell's Equations And There Was Light.
科学强国，做科学中国人。让我们一起来感受数学之美吧，请欣赏我将文献中的Maxwell方程总结成的最简洁并显露其波动本质的控制微分方程形式（ 真空中的电磁波动方程 ）。追寻先贤的思想，下面我主要讲述 Maxwell 是如何发现电磁波的。
Maxwell 通过数学推导看懂了上帝的语言，他预言了电磁波的存在，并且指明光也是一种电磁波，引领无数科学家向着这个方向去探索，无线电通讯让人类迈进崭新的“信息时代”，极大地推动了人类文明的进步。这是数学与物理最最完美的结合形式。他是Einstein最崇拜的人，Einstein将他的画像悬挂于办公室，以表达敬仰之情。受其影响，Einstein一生也始终以数学方法研究物理。爱因斯坦在麦克斯韦百年诞辰的纪念会上说过，麦克斯韦方程是“是牛顿以来，物理学最深刻和最富有成果的工作。
Einstein had pictures of Newton, Maxwell and Faraday in his office,indicating how important he thought their works to be.
英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式里，有著名的 E=mc2、复杂的傅立叶变换、简洁的欧拉公式……但“麦克斯韦方程组”排名第一，成为“世上最伟大的公式”。
如果不能看懂下面这些 vector analysis 公式，就快去重温您的大学高数教材吧。这是完全理解电磁波方程的基础，当然我也会介绍更简单的用一维微积分的方法。
We all know that both electric and magnetic fields are vectors since theyhave both a magnitude and a direction. Hence, the study of electromagneticfields requires basic knowledge of vector analysis. The most useful concepts invector analysis are those of divergence, curl, and gradient.
仅仅为了数学表达的简洁与助记，首先引入 向量微分算子 。
In R3 the del operator ∇ is a differential vector operator , denoted in Gibbs’ notation by∇and defined as:
With the help of the del operator we can define the gradient, divergenceand curl of a vector (in the generalised sense).
The gradient 梯度 of an R3 scalar field 数量场 u(x), denoted ∇u(x), is an R3 vector field:
Assume that W is a vector function, a quantity whose magnitude anddirection vary as functions of its position in space.
The divergence 散度 of the vector function W is：
The 3D Laplace operator 拉氏算子 or Laplacian can be described as the divergence of thegradient operator:
In R3 the curl 旋度 of a vector field W(x), denoted ∇ ×W(x), is another R3 vector field b(x) which can bedefined in the following way:
当时，英国物理学家法拉第已经对电磁之间的关系做出了开创性的研究，解决了磁生电的问题，但由于数学不好，他并没有为这些现象做出数学上的解释。自从牛顿创立微积分之后，微积分就成为研究物理现象的有力工具。 Maxwell 就试图运用微积分建立电磁现象的控制微分方程，一个物理量的变化必须满足微分方程的解 。
Maxwell通过总结前人的实验定律，包括电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律以及安培环路定律（如果您忘记了，可以去看高中物理书或大学物理教材），再加上自己的想象力，得出了以下关于电磁规律的方程组，完美地揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性，统一了整个电磁场：
Maxwell 从积分方程进一步推导得出电磁场的控制微分方程：
从数学上理解，电场 E 和磁场 B 就是满足上述微分方程的一个解。从而可以使用数学方法对其进行研究。
如果只是停留在上述复杂的方程组面前，Maxwell 也将一无所得。他和我们常人一样，也无法从复杂的三维方程就看出什么头绪，但是他想到了将方程化简为最简单的一维形式，看看能发现什么：
上述公式表明了，变化的磁场产生电场梯度，变化的电场又产生磁场梯度。我们还是看不出额外的东西。感谢 Maxwell 是个数学家，他对数学公式很敏感，他曾经仔细学习推导过波动方程，也就是声音在空气中传播的控制微分方程：
上述方程表达的物理意义是，变化的空气质点运动速度 v 会产生压力 p 梯度，而变化的压力p 又会产生速度 v 梯度，两个物理量 v 和 p 是相生相克的，满足波动方程。 凡是满足波动方程的物理量都会随时间而沿空间传播 。至此，Maxwell 全明白了，上述的电场磁场也是相生相克的，也满足波动方程，经过简单的微分推导，可以得出以下波动方程：
既然电场满足这个方程，那么电场必须是波动的。同理可以推导出磁场也是波动的。由此预测了不可思议的穿越时空的电磁波的存在性，这是真正伟大的发现。如果说电力的发展给了人类新的动力，而无线电波的出现才真正让人类变得更加自由，千里传音变为现实，这一切都离不开电磁波的发现，因此麦克斯韦的故事将永远流传。
而且Maxwell根据波动方程理论，采用相关电磁参数很简单地就算出了电磁波的速度
他惊奇地发现电磁波的速度居然跟科学界已经发表的光速相差无几，上帝说没有这么凑巧的事，他由此认为光也是一种电磁波。这真是伟大的发现！
可惜的是，天不假年，Maxwell 在48岁就因胃癌去世了，上帝没给他足够的时间去做实验证实他自己的理论。“大器晚成”加“英年早逝”对一般人来说注定一事无成，但他在有限的生命中成果辉煌，他的发现指引无数科学家向着这个方向去努力，Maxwell 的伟大理论首先指向了电磁波的产生和探测问题。1890年，德国科学家 Hertz （频率单位）终于通过实验验证了电磁波的存在，并且传播速度等于光速。
The existence of these waves was experimentally confirmed, in 1890 byHertz, who succeeded in producing them and verifying that they have the samepropagation, interference, diffraction and polarization properties as lightwaves. Thus, Maxwell theory has enabled us to understand the nature of light aselectromagnetic waves with very short wavelengths.
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831年6月13日〜1879年11月5日），出生于苏格兰爱丁堡，英国物理学家、数学家。经典电动力学的创始人，统计物理学的奠基人之一。1831年6月13日生于苏格兰爱丁堡，1879年11月5日卒于剑桥。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理，毕业于剑桥大学。他成年时期的大部分时光是在大学里当教授，最后是在剑桥大学任教。1873年出版的《论电和磁》，也被尊为继牛顿《自然哲学的数学原理》之后的一部最重要的物理学经典。麦克斯韦被普遍认为是对物理学最有影响力的物理学家之一。没有电磁学就没有现代电工学，也就不可能有现代文明。