一般来说，我们解二元方程组采用的都是消元法，简单来说，就是先想办法消除一个未知数，然后求解出另一未知数，最后在反过来求剩下的未知数。
求得方程组解为：
我们先把方程组未知数对应的4个系数摘下来，如下排列：
表达式 称为 二阶行列式 ，并记作：
二阶行列式可以用对角线法则来记忆： 到 的线称为主对角线， 到 的线则是副对角线。于是，二阶行列式就是主对角线元素之积减去副对角线元素之积得到的差。
接下来，我们可以这样来求解二元线性方程组：
先求系数确定的二阶行列式： D=
然后，可以直接求得方程组两解：
当然，有二阶自然有三阶，通常用的都是二阶行列式或三阶行列式，更高维的则较少使用。
这里，对角线法则相对复杂，如图
线代书原话是这么解释：
何为全排列？也称为排列，就是把n个不同元素排成一列。对于n个元素，我们可以规定一个标准次序（一般是从小到大）。
对任意一个排列次数，如果某一对元素的先后次序与标准次序不同时，则构成1个 逆序 ,那么，一个排列中所有逆序的总和称为此排列的 逆序数 。
奇排列：逆序数为奇数的排列
偶排列：逆序数为偶数的排列
线代书例题如图所示：
将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的操作叫对换。
将相邻元素对调的，称为 相邻对换
学了逆序数这个概念，我们再来看看三阶行列式的求法。
=
这里的t代表的是 这个排列的逆序数，所以正负号的选择与逆序数的奇偶有关。
推广到n阶行列式：有 个数，排成n行n列
= =det( )
上（下）三角形行列式：主对角线以下（上）的元素都为0
对角行列式 ：主对角线以上和以下的元素都为0。
= =
转置行列式： =
一般而言，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，所以我们考虑怎样用低阶行列式来表示高阶行列式。先了解何为余子式和代数余子式。假设有下面这个行列式，然后拿走 所在的行和列，得到新的行列式，这个新的行列式称为 的余子式，记作 。
再给余子式加上 ,即代数余子式 =
有这么一个重要定理（行列式按行（列）展开法则）： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 ，即
此外，还有一个推论： 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 ,即