第1个回答 2023-04-04
在最小二乘估计方法中，正交性是指任意两个不同的最小二乘估计量之间的内积为0，即两个最小二乘估计量之间是正交的。这个性质也叫做正交性原理。
最小二乘估计方法的正交性可以通过矩阵运算进行证明。具体来说，设X是一个n行p列的矩阵，其中n表示样本数量，p表示自变量的数量。如果X的列向量之间线性无关，则X可以分解为QR两个矩阵的积，其中Q是一个n行p列的正交矩阵（即Q的转置矩阵等于Q的逆矩阵），R是一个p行p列的上三角矩阵。此时，最小二乘估计量b可以表示为：
b = (X'X)^(-1)X'y = (R'Q'QR)^(-1)R'Q'y = R^(-1)Q'y
因为Q是正交矩阵，所以有Q'Q=I，即Q的转置矩阵和自身的乘积等于单位矩阵。因此，b和e = y - Xb之间的内积可以表示为：
b'e = b'(y - Xb) = b'Q'(y - Xb) = b'Q'y - b'(Q'Xb) = 0
也就是说，最小二乘估计量b和误差项e之间是正交的。
最小二乘估计方法与优化理论有紧密联系。在最小二乘估计中，我们的目标是找到一个能够最小化残差平方和的估计量。这个问题可以等价于一个最小化目标函数的优化问题，其中目标函数为：
f(b) = ||y - Xb||^2
使用微积分方法求解该问题，可以得到最小二乘估计量b的闭式解。因此，最小二乘估计方法可以看作是一种优化方法，用来寻找能够最小化目标函数的参数估计量。
需要注意的是，在进行最小二乘估计时，我们通常需要满足一些假设条件，如误差项的独立性、方差齐性和正态性等。如果这些条件不满足，可能会影响到最小二乘估计量的准确性和稳定性。