a,b,c属于正数，abc=1求证a^2+b^2+c^2小于等于a^3+b^3+c^3

如题所述

第1个回答 2011-05-10

如图：

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第2个回答 2011-05-11

由柯西不等式：(a+(b+c)(a^3+b^3+c^3)>=(a^2+b^2+c^2)^2
那么a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)*(a^2+b^2+c^2)/(a+(b+c)
接下来证明(a^2+b^2+c^2)/(a+(b+c)>=1即a^2+b^2+c^2>=a+b+即可；
又由柯西不等式：(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2
那么a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)*(a+b+c)/3
接下来证明a+b+c>=3即可；
由基本不等式有：(a+b+c)/3>=根号三次方abc=1
所以命题得证！

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已知abc=1 求证a^2+b^2+c^2<=a^3+b^3+c^3答：这个需要说明下a>0,b>0.c>0吧否则原式肯定不成立假设有前面的条件利用排序不等式有 a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a a^3+b^3+c^3>=a^2c+b^2a+c^2b 3(a^3+b^3+c^3)=a^2b+a^2c+a^3+b^2a+b^3+b^2c+c^2a+c^2b+c^3=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)>=(...

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已知a,b,c属于实数,且a+b+c=1,求证a^2+b^2+c^2>3答：已知abc是实数，a+b+c=1,求证：a^2+b^2+c^2>=1/3 （1）（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1 又因为（2）a^2+b^2>=2ab（3）a^2+c^2>=2ac（4）b^2+c^2>=2bc 把五个式子的左边加起来3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc 大于等于五个式子右边加起来1+2ab...

设a,b,c均为正数,且a b c=1,求证:a^2+ b^2+ c^2大于等于1/3答：正规方法:看好哦,非常精妙!!设a=1/3+x,b=1/3+y,c=1/3+z(其中x+y+z=0)所以a^2+ b^2+ c^2=1/3+2(x+y+z)+x^2+y^2+z^2>=1/3 怎么还补充啊!!1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)>=3*[1/(abc)^2]^(1/3)又因为1=a+b+c>=3(abc)^(1/3),所以abc<=1/27 ...

已知a,b,c都是正数,且abc=1,求证a^3+b^3+c^3>=3答：+b²+c²-ab-bc-ac）+3abc 因为a²+b²≥2ab＞ab，b²+c²≥2bc＞bc，c²+a²≥2ca＞ca 所以（a²+b²+c²-ab-bc-ac）＞0 又因为a，b，c为正数，所以a+b+c＞0 所以a³+b³+c³≥3abc=3 ...

已知abc为正实数,a+b+c=1 求证a⊃2;+b⊃2;+c⊃2;≥1/3答：所以a²+b²+c²≥1/3 第二种可以用柯西不等式（1²+1²+1²）*（a²+b²+c²)≥（1*a+1*b+1*c)²化简可得a²+b²+c²≥1/3 第三种：可以构造构造函数：f（X）=(a²+b²+c²)X²+2...

设a,b,c 为正实数,且abc=1,求证:1/a^3(b+c)+1/b^3(c+a)+1/c^3(a+b...答：4bc-ab-ac),即 1/[a^3(b+c)]≥1/4(4bc-ab-ac),同理 1/[b^3(a+c)]≥1/4(4ac-bc-ab),1/[c^3(a+b)]≥1/4(4ab-ac-bc),上述三式相加,1/[a^3(b+c)]+1/[b^3(a+c)]+1/[c^3(a+b)]≥1/2(ab+bc+ca)≥1/2*3*(abc)^(2/3)=3/2,故命题得证.

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