第1个回答 2022-07-17
要想解释清这个问题首先要知道两个相关的结论,第一,n+1个n维向量一定线性相关,第二,如果α1,α2,αn线性无关且α1,α2,αn,β线性相关,则β可由α1,α2,αn线性表出.这两个结论的证明都不难,而且教材上应该有.由这两个结论可知,任一n维向量都可以由n个线性无关的n维向量线性表出,这是解决本问题的关键.回到这个问题,由于B的秩等于n,即B中有n个线性无关的向量β1,β2,βn,用这n个线性无关的向量可以线性表出任一A中的向量αi(因为αi也是n维的),这就证明了A中任一向量都可以由向量组B线性表出,同理可证明B中任一向量都可以由向量组A线性表出,这正是两个向量组等价的定义,因此向量组A和B等价.有不明白的地方欢迎追问.