两个n维向量组,且他们的秩都是n,为什么这两个向量组等价?

如题所述

第1个回答 2022-07-17

要想解释清这个问题首先要知道两个相关的结论,第一,n+1个n维向量一定线性相关,第二,如果α1,α2,αn线性无关且α1,α2,αn,β线性相关,则β可由α1,α2,αn线性表出.这两个结论的证明都不难,而且教材上应该有.由这两个结论可知,任一n维向量都可以由n个线性无关的n维向量线性表出,这是解决本问题的关键.回到这个问题,由于B的秩等于n,即B中有n个线性无关的向量β1,β2,βn,用这n个线性无关的向量可以线性表出任一A中的向量αi（因为αi也是n维的）,这就证明了A中任一向量都可以由向量组B线性表出,同理可证明B中任一向量都可以由向量组A线性表出,这正是两个向量组等价的定义,因此向量组A和B等价.有不明白的地方欢迎追问.

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两个满秩且秩相等的向量组等价吗?n个n维列向量构成的向量组才会存在满秩...答：n维线性空间的一组n个线性无关的向量，都是这个n维线性空间的一个“基底”。同一个空间的两个“基底”当然是等价的。还有就是两个由m个n维列向量构成的向量组，且m>n，这是它们等价吗？当然不，例子自己去举吧。

矩阵问题 为什么秩相等就等价答：秩相等的矩阵不一定等价。等价的向量组秩一定相等。设有n维向量组Ⅰ和n维向量组Ⅱ。如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩。向量组A与向量组B的等价秩相等条...

...可以由另一组线性表出,试证明:这两个向量组等价答：证: 设n维向量组a1,a2,...,as可由向量组b1,b2,...,bt线性表示, 且 r(a1,a2,...,as) = r(b1,b2,...,bt).由向量组a1,a2,...,as可由b1,b2,...,bt线性表示得 r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt) = r(b1,b2,...,bt)而 r(a1,a2,...,as) = r(b1,b2,...,...

...都是由N个N维向量组成且都线性无关则这两个向量组必可互相表示吗_百...答：对！根据你所给的条件，可以知道，这两个向量组都可以作为N维向量空间的基，因此必可互相表示、必等价。

若n维向量组与n维向量组有相同的秩,则这两个向量组是否等价答：不一定，例如向量 (0,1,0)和向量(1,0,0)都可以构成秩为1的向量组，但是两者不等价只有“是”的命题需要系统性的证明，否定性的命题，特例就足够了。不成立的命题，要证明是非常难的。4181

n维向量的无关性问题答：α1，α2，……,αn本来就可以由e1,e2,……,en线性表示，现在e1,e2,……,en也可以由α1，α2，……,αn线性表示，所以两个向量组等价，从而等秩，而e1,e2,……,en线性无关，秩是n，所以α1，α2，……,αn的秩也是n，所以α1，α2，……,αn线性无关 ...

设α1,α2,…αs与β1,β2,…,αs是两个n维向量组答：等价的定义是：两个向量组，如果每一个αi都可以由β1，β2，…，βs线性表示，而每一个βi，也可以由α1，α2，…αr线性表示，则这两个响亮线性相关。α1，α2，…αs由已知显然可由β1，β2，…，βs表示，而用第一个等式结合第二个等式可得α1+α2=2（β1+β3，…，+βs），...

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