高等数学二重积分：求x^2+y^2+z^2=R^2,与 x^2+y^2+z^2=2Rz所围成图形的体积，需过程； 求助高手！

Question

如题所述

Answer 1

这是两个球体，半径都为R，圆心分别在(0,0,0)和(0,0,R)处，通过作图很容易发现要求的体积部分是一对上下对称的圆剖体，我们只需要求其中一个的体积就可以了。
将两个球在屏幕xOz投影,得到两个圆方程x^2+z^2=R^2，x^2+z^2=2Rz，联立方程组得：R^2=2Rz，z=R/2，这就是两个圆交点的Z坐标，所以平面z=R/2就是两个球的交线围成的平面

现来求球x^2+y^2+z^2=R^2在平面z=R/2以上部分的体积，用球坐标计算
∫[0->2π]dθ∫[0->π/3]dψ∫[0->R](p^2)sinψdp=2π∫[0->π/3](1/3)(R^3)sinψdψ
=-(2/3)π(R^3)*cosψ | [0->π/3] = (1/3)πR^3

故所求部分体积为V=2*(1/3)πR^3=(2/3)πR^3