第1个回答 2022-06-23
两个无穷小量或无穷大量之比的极限统称为不定式极限
定理：若函数 满足：
1.
2.在点 的某空心邻域 上两者都可导，且
3. （ 可为实数也可为 或 ）
则
证明：
补充定义 ，使得 在点 处连续
，在区间 (或 )上应用柯西中值定理
有
即 （ 介于 与 之间）
当令 时，也有
故
注：
1.定理中 换成 ，只要满足相应修正条件2中的邻域也可得同样的结论
2.若 仍是 型不定式极限，可再次用洛必达法则，即考察 是否存在。此时 在 的某邻域上必须满足条件
定理：若函数 满足：
1.在 的某右邻域 上两者都可导，且
2.
3. ( 可为实数，也可为 )
则
证明：
设 为实数
对满足不等式 的每个
有
在 上满足柯西中值定理
故 使得
由保号性
，使得
当 时
故
又
故
由保号性
使得 时
故
又
故
由保号性
当 时有
即证得
类似可证 或 的情形
注：
1.定理对于 或 等情形也有相同结论
2.若 满足相应条件，则可再次应用定理
3.若 不存在，不能说明 不存在
例：设 在区间 上可导， ，证明
证：
故
不定式极限还有 等类型，经过简单变换，一般均可化为 型或 型的极限
例：设
且已知 ，试求
解：
可利用函数极限的归结原则，通过先求相应形式的函数极限而得到结果
例：
解：
先求
取对数后求极限
由归结原则可得
注：不可在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量 求导没有意义