已知数列{an}前n项和Sn=2an+2^n.(I)证明数列{an/2^(n-1)}是等差数列，并求{an}的通项公式（II）

Question

若bn=(n-2011)an/(n+1),，求数列{bn}是否存在最大值项，若存在，说明是第几项，若不存在，请说明理由；（III）设Tn=|S1|+|S2|+|S3|+......+|Sn|,是比较(Tn+Sn)/2与(2-n)/(1+n)*an的大小

Answer 1

（1）Sn+1-Sn=an+1=2an+1-2an+2×2^n-2^n，整理得a（n+1）=2an-2^n。
两边同时除以2^（n-1），整理得a（n+1）/2^n=an/2^（n-1）-1.
s1=2a1+2，得a1=-2.a1/2^（1-1）=a1=-2.
综上，{an/2^(n-1)}是首项为-2，公差d=-1的等差数列。
an/2^（n-1）=a1/2^（1-1）+（n-1）（-1）=-（n+1）。
则an=-（n+1）×2^（n-1）。
综上，{an}的通项公式为-（n+1）×2^（n-1）。
（2）代入an，得bn=-（n-2011）2^（n-1）。
是否有最大值可以探索其单调性b（n+1）-bn=（2009-n）2^（n-1）。
则bn在【1,2009】单调递增，（2009，+正无穷）递减。
则最大值存在且为第2009项。
（3）Sn=2an+2^n=-n×2^n。则Sn在【1，正无穷）恒＜0.|Sn|=-Sn
Tn=1×2^1+2×2^2+....+（n-1）×2^（n-1）+n×2^n。（可用错位相减）
即2Tn=1×2^2+2×2^3+...（n-1）×2^n+n×2^（n+1）。
两式相减，得-Tn=2^1+2^2+....+2^n-n2^(n+1)=(1-n)2^（n+1）-2.
则Tn=（n-1）2^（n+1）+2.
代入，化简得(Tn+Sn)/2=（n-2）2^（n-1）+1.①
(2-n）/（1+n）×an=（n-2）/（【（n+1）^2】×【2^（n-1】）。②
①-②=1＞0.
综上，(Tn+Sn)/2＞(2-n)/(1+n)*an

Answer 2

Sn=2an+2^n.
S(n+1)=2a(n+1)+2^(n+1)
相减：
a(n+1)=S(n+1)-Sn=2(a(n+1)-2an+2^n
∴a(n+1)=2an-2^n
∴[a(n+1)/2^n]-[an/2^(n-1)]
=[(2an-2^n)-2an]/2^n
=-1
∴数列{an/2^(n-1)}是等差数列,公差为-1
又a1=S1=2a1+2
∴a1=-2
∴an/2^(n-1)=-2+(n-1)*(-1)=-n-1
∴an=-(n+1)*2^(n-1)
(2)
bn=(n-2011)an/(n+1) =（2011-n)*2^(n-1)
n<2011时，bn>0
n=2011时，bn=0
n>2011时,bn<0
bn<2011时，
由 b(n+1)/bn=2(2010-n)/(2011-n)≥1
4020-2n≥2011-n
∴n≤2009
∴b2010=b2009=2^2009为最大值项
(3)
Sn=2an+2^n=-2(n+1)*2^(n-1)+2^n
=-n2^n
|Sn|=n*2^n
∵Tn=|S1|+|S2|+|S3|+......+|Sn|
∴Tn=2+2*2^2+3*2^3+......+n*2^n ①
①×2:
2Tn=4+2*2^3+3*3^4+.......+(n-1)2^n+n*2^(n+1) ②
①-②:
-Tn=2+4+8+.....+2^n-n*2^(n+1)
=2(2^n-1)-n*2^(n+1)
=(1-n)*2^(n+1)-2
∴Tn=2+(n-1)*2^(n+1)
(Tn+Sn)/2
=[2+(n-1)*2^(n+1)-n*2^n]/2
=[2+(n-2)*2^n]/2

(2-n)/(1+n)*an
= (2-n)/(n+1)*[-(n+1)*2^(n-1)]
=(n-2)*2^(n-1)
(Tn+Sn)/2- (2-n)/(1+n)*an
=1+(n-2)*2^n/2-(n-2)*2^(n-1)
=1>0
∴(Tn+Sn)/2>(2-n)/(1+n)*an本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

(l)
Sn=2an+2^n----->S(n-1)=2a(n-1)+2^(n-1)

Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)+2^(n-1)
Sn-S(n-1)=an
----->
an-2a(n-1)= -2^(n-1) （右边是负的）
an/2^(n-1) -2a(n-1)/2^(n-1) = -2^(n-1)/2^(n-1)
an/2^(n-1) -a(n-1)/2^(n-2) = -1 为常数
当n=1时
S1=2a1+2----->a1=-2
所以{an/2^(n-1)} 是首项为-2，公差为-1的等差数列

(ll)
{an/2^(n-1)}---->an/2^(n-1)=-2+(n-1)*(-1)=-1-n
----->
an=(-1-n)*2^(n-1)=-2^(n-1)*(n+1)
----->
bn=-2^(n-1)*(n-2011)------->bn=2^(n-1)*(2011-n)
当n=2010或2009时，bn=2^2009有最大值（n=2008时bn=2^2007*3<2^2009)

(lll)
Sn=2an+2^n=-2(n+1)*2^(n-1)+2^n
=-n2^n
|Sn|=n*2^n
∵Tn=|S1|+|S2|+|S3|+......+|Sn|
∴Tn=2+2*2^2+3*2^3+......+n*2^n ①
①×2:
2Tn=4+2*2^3+3*3^4+.......+(n-1)2^n+n*2^(n+1) ②
①-②:
-Tn=2+4+8+.....+2^n-n*2^(n+1)
=2(2^n-1)-n*2^(n+1)
=(1-n)*2^(n+1)-2
∴Tn=2+(n-1)*2^(n+1)
(Tn+Sn)/2
=[2+(n-1)*2^(n+1)-n*2^n]/2
=[2+(n-2)*2^n]/2

(2-n)/(1+n)*an
= (2-n)/(n+1)*[-(n+1)*2^(n-1)]
=(n-2)*2^(n-1)
(Tn+Sn)/2- (2-n)/(1+n)*an
=1+(n-2)*2^n/2-(n-2)*2^(n-1)
=1>0
∴(Tn+Sn)/2>(2-n)/(1+n)*an

Answer 4

已知Sn=2an+2^n①,则a1=-2,
则Sn-1=2an-1+2^n-1②,
①式减去②式：an=2an+2^n-2an-1-2^n-1③
等式两边同时除以2^(n-1)：an/2^(n-1)=2an/2^(n-1)-an-1/2^(n-2) -1
移项得：an/2^(n-1)-an-1/2^(n-2)=1
即：{an/2^(n-1)}是以-2为首项,以1为公差的等差数列。an/2^(n-1)=-2+n-1=n-3
故an=(n-3)*2^(n-1)
至于后面几问，我有标答，明天呈上，求采纳！