1至n的平方和怎么求

Question

如题所述

Answer 1

S=n(n+1)(2n+1)/6
解：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
∴
2³-1³=3●1²+3●1+1
3³-2³=3●2²+3●2+1
4³-3³=3●3²+3●3+1
5³-4³=3●4²+3●4+1
...........
(n+1)³-n³=3●n²+3●n+1
上面各式相加，得：
(n+1)³-1=3S+3A+n
2(n+1)³-2=6S+6A+2n
A=(n+1)n/2
∴
6S
=2(n+1)³-2-6A-2n
=2(n+1)³-2-3n(n+1)-2n
=(n+1)(2n²+4n+2-2-3n)
=(n+1)(2n²+n)
=n(n+1)(2n+1)
∴
S=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

1/6·n(n＋1)(2n＋1)追问

步骤？

追答

百度吧～～～百度应该有

追问

呵呵。。。

追答

1²＋2²＋3²＋……＋n²＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)
证明如下：

不妨设1²＋2²＋3²＋……＋n²＝S
利用恒等式(n＋1)³＝n³＋3n²＋3n＋1，得：
(n＋1)³－n³＝3n²＋3n＋1
n³－(n－1)³＝3(n－1)²＋3(n－1)＋1
………………………………
3³－2³＝3·2²＋3·2＋1
2³－1³＝3·1²＋3·1＋1
将这n个式子两端分别相加，得：
(n＋1)³－1＝3(1²＋2²＋3²＋……＋n²)＋3(1＋2＋3＋……＋n)＋n
由于1＋2＋3＋4＋……＋n＝n(n＋1)/2
代入上式，得：
n³＋3n²＋3n＝3S＋3/2×n(n＋1)＋n
整理后得S＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)
即1²＋2²＋3²＋……＋n²＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)

度娘的～～

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Answer 3