第2个回答 2013-07-21
问得好！问到了我们的致命伤！
1、从定积分解决面积问题、体积问题、、、、而言，确实不应该有负值出现。
有负值出现的原因，一般是由于我们很多教师误导所造成的。
无论计算面积，还是体积；无论是用一重积分，二重积分，或多重积分，
如果严格沿着坐标轴的方向积分，就不会出现负值。
以面积为例，如果是一重积分，就是上面的曲线函数减去下面的曲线函数，
然后沿着x轴积分，就不会出错，一定为正。
遗憾的是，太多的教师，不分青红皂白拿起函数就积分，尤其是在x轴下方
的曲线，他们仍然稀里糊涂地拿起来就积分，然后再加上一个负号，凑成
答案糊弄学生。如果用上方的函数y=0减去下方的函数，就不会多此一举地
再加一个负号，在概念上也就完美无缺了。可是我们的教师们，很多不是如
此这般，而是硬拗，歪解，废铜烂铁就此炼成了。
如果是二重积分计算面积，上面的问题就自然避免了，可是我们太多的教师
没有从二重积分中make sense，也就是没有真正去理解二重积分的过程，当
他们用一重积分计算时，就彻底忘记了二重积分的实质，依然胡乱积分，然
后牵强附会地加上一个负号，凑出答案，糊弄一通。
这是第一种情况。
2、第二种情况是，计算的具体问题的物理意义发生变化时，出现负号是在所难免的。
例如计算电量、计算焓变、计算熵变时，等等等等，出现负值是由具体的物理意
义和物理过程决定的。
3、第三重情况是，在定积分的过程中，不可能总是沿着一个方向，尤其是到了二维
跟二维以上的空间积分时，沿着坐标轴的反方向积分时，出现负值也是自然而然
的事情。
4、第四种情况，作为纯数学研究、计算、练习，脱离了具体的物理意思时，对x轴下
方的函数进行积分，也无可非议，出现负值是必然的。