如何证明正四面体内切球半径为此正四面体高的四分之一，详解

如题所述

第1个回答 2012-06-05

这个可以用体积法来做
设四面体ABCD，边长为1

首先求高
A做底面BCD的垂线AE，由对称性可以知道，E就是BCD的中心
延长DE交BC于F
DF=√3/2，EF=1/3DF=√3/6，AF=√3/2
所以AE=√(AF^2-EF^2)=√6/3

再求内切球半径，设球心为O，那么对称性可知O肯定在AE上
连接AO、BO、CD，将四面体分割成4个三棱锥O-ABC，O-ABD，O-ACD，O-BCD
那么VA-BCD=V O-ABC+V O-ABD +V O-ACD +V O-BCD=4V O-BCD
（因为对称性可以发现这四个体积是一样的）
所以1/3*H*S△BCD=4*1/3*h*S△BCD H是正四面体的高，h为内切球的半径
所以H=4h

可以发现，不用求高就可以得出结论了

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