求所有自然数n（n≥2），使得存在实数a1，a2，…，an，满足：{|...

Question

求所有自然数n（n≥2），使得存在实数a1，a2，…，an，满足：{|ai-aj||1≤i＜j≤n}={1，2，…，n(n-1)2}．

Answer 1

解：n=2时，a1=1，a2=2符合题意
n=3时，a1=1，a2=2，a3=4符合题意
n=4时，a1=1，a2=2，a3=5，a4=7符合题意
假设n≥5时，存在a1，a2…an符合题意
由于形如︳ai-aj︳（1≤i＜j≤n）的数共有n(n-1)2个，且由题意它们两两不同都是正整数，所以不存在i，j，i≠j使得ai=aj．
不妨设a1＜a2＜…＜an．
由于︳an-a1︳，︳an-1-a1︳，︳an-a2︳两两不同
则︳an-a1︳≤n(n-1)2，（an-a1）+（an-1-a1）+（an-a2）≤3n(n-1)2-3
当n=2k+1≥5时
︳a2-a1︳，︳a3-a2︳…︳an-an-1︳，︳a3-a1︳，︳a5-a3︳…︳an-an-2︳是不同的3k个数，和≥1+2+3+…+3k=3k(3k+1)2
另一方面他们的和为a2-a1+a3-a2+…+an-an-1+a3-a1+a5-a3+…+an-an-2=2（an-a1）≤n（n-1）=2k（2k+1）
所以2k（2k+1）≥3k(3k+1)2，解得0≤k≤1，矛盾
当n=2k≥6时，︳a2-a1︳，︳a3-a2︳…︳an-an-1︳，︳a3-a1︳，︳a5-a3︳…︳an-an-3︳，︳a4-a2︳，︳a6-a4︳…︳an-an-2︳，是不同的（4k-3）个数，和≥1+2+3+…+（4k-3）=12（4k-3）（4k-2）=（2k-1）（4k-3）
另一方面他们的和为a2-a1+a3-a2+…+an-an-1+a3-a1+a5-a3+…+an-an-2=（an-a1）+（an-1-a1）+（an-a2）≤32n（n-1）-3=3k（2k-1）-3
所以3k（2k-1）-3≥（4k-3）（2k-1）
解得32≤k≤2，矛盾
故假设不成立，n=2，3，4．