tupainban2012年高考文科数学试题解析（全国课标）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则
（A）AB （B）BA （C）A=B （D）A∩B=
【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系，是简单题.
【解析】A=（－1,2），故BA，故选B.
（2）复数z＝ 的共轭复数是
（A） （B） （C） （D）
【命题意图】本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念，是简单题.
【解析】∵ = = ，∴ 的共轭复数为 ，故选D.
（3）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线 y=12x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为
（A）－1 （B）0 （C）12 （D）1
【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题.
【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.
（4）设 , 是椭圆 ： =1（ ＞ ＞0）的左、右焦点， 为直线 上一点，△ 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为
. . . .
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.
【解析】∵△ 是底角为 的等腰三角形，
∴ ， ，∴ = ，∴ ，∴ = ，故选C.
（5）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则 的取值范围是
（A）(1－3，2) （B）(0，2)
（C）(3－1，2) （D）(0，1+3)
【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题.
【解析】有题设知C(1+ ,2)，作出直线 ： ，平移直线 ，有图像知，直线 过B点时， =2，过C时， = ，∴ 取值范围为(1－3，2)，故选A.
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 ( ≥2)和实数 ， ，…， ，输出 ， ，则
. + 为 ， ，…， 的和
. 为 ， ，…， 的算术平均数
. 和 分别为 ， ，…， 中的最大数和最小数
. 和 分别为 ， ，…， 中的最小数和最大数
【命题意图】本题主要考查框图表示算法的意义，是简单题.
【解析】由框图知其表示的算法是找N个数中的最大值和最小值， 和 分别为 ， ，…， 中的最大数和最小数，故选C.
21世纪教育网（7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为
.6 .9 .12 .18
【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题.
【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为 =9，故选B.
(8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为
（A）6π （B）43π （C）46π （D）63π
【命题意图】
【解析】
（9）已知 >0， ，直线 = 和 = 是函数 图像的两条相邻的对称轴，则 =
（A）π4 （B）π3 （C）π2 （D）3π4
【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题.
【解析】由题设知， = ，∴ =1，∴ = （ ），
∴ = （ ），∵ ，∴ = ，故选A.
（10）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 、 两点， = ，则 的实轴长为
. . .4 .8
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.
【解析】由题设知抛物线的准线为： ，设等轴双曲线方程为： ，将 代入等轴双曲线方程解得 = ，∵ = ，∴ = ，解得 =2，
∴ 的实轴长为4，故选C.
(11)当0< ≤12时， ，则a的 取值范围是
（A）(0，22) （B）(22，1) （C）(1，2) （D）(2，2)
【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想，是中档题.
【解析】由指数函数与对数函数的图像知 ，解得 ，故选A.
（12）数列{ }满足 ，则{ }的前60项和为
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题.
【解析】【法1】有题设知
=1，① =3 ② =5 ③ =7， =9，
=11， =13， =15， =17， =19， ，
……
∴②－①得 =2，③+②得 =8，同理可得 =2， =24， =2， =40，…，
∴ ， ， ，…，是各项均为2的常数列， ， ， ，…是首项为8，公差为16的等差数列，
∴{ }的前60项和为 =1830.
【法2】可证明：
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)曲线 在点（1,1）处的切线方程为________
【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.
【解析】∵ ，∴切线斜率为4，则切线方程为： .
(14)等比数列{ }的前n项和为Sn，若S3+3S2=0， 则公比 =_______
【命题意图】本题主要考查等比数列n项和公式，是简单题.
【解析】当 =1时， = ， = ，由S3+3S2=0得 ， =0，∴ =0与{ }是等比数列矛盾，故 ≠1，由S3+3S2=0得 ， ，解得 =－2.
(15) 已知向量 ， 夹角为 ，且| |=1，| |= ，则| |= .
【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则，是简单题.
【解析】∵| |= ，平方得 ，即 ，解得| |= 或 （舍）
(16)设函数 =(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想，是难题.
【解析】 = ，
设 = = ，则 是奇函数，
∵ 最大值为M，最小值为 ，∴ 的最大值为M-1，最小值为 －1，
∴ ， =2.
三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）已知 ， ， 分别为 三个内角 , , 的对边， .
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)若 =2， 的面积为 ，求 ， .
【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用，是简单题.
【解析】(Ⅰ)由 及正弦定理得
由于 ，所以 ，
又 ，故 .
(Ⅱ) 的面积 = = ,故 =4，
而 故 =8，解得 =2.
18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了100天 玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天 的日利润（单位：元）的平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.
【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简单题.
【解析】（Ⅰ）当日需求量 时，利润 =85；
当日需求量 时，利润 ，
∴ 关于 的解析式为 ；
（Ⅱ）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为
=76.4；
(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为
（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点。
(I) 证明：平面 ⊥平面
（Ⅱ）平面 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.
【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥ ,BC⊥AC， ,∴ 面 , 又∵ 面 ，∴ ,
由题设知 ,∴ = ,即 ,
又∵ , ∴ ⊥面 , ∵ 面 ，
∴面 ⊥面 ；
（Ⅱ）设棱锥 的体积为 ， =1，由题意得， = = ，
由三棱柱 的体积 =1，
∴ =1:1， ∴平面 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.
（20）（本小题满分12分）设抛物线 ： （ ＞0）的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 , 两点.
(Ⅰ)若 , 的面积为 ，求 的值及圆 的方程；
(Ⅱ)若 ， ， 三点在同一条直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到 ， 距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】设准线 于 轴的焦点为E，圆F的半径为 ，
则|FE|= ， = ，E是BD的中点，
(Ⅰ) ∵ ，∴ = ，|BD|= ，
设A( ， )，根据抛物线定义得，|FA|= ，
∵ 的面积为 ，∴ = = = ，解得 =2，
∴F(0,1), FA|= ， ∴圆F的方程为： ；
(Ⅱ) 【解析1】∵ ， ， 三点在同一条直线 上, ∴ 是圆 的直径， ,
由抛物线定义知 ，∴ ，∴ 的斜率为 或－ ，
∴直线 的方程为： ，∴原点到直线 的距离 = ，
设直线 的方程为： ，代入 得， ，
∵ 与 只有一个公共点， ∴ = ，∴ ，
∴直线 的方程为： ，∴原点到直线 的距离 = ，
∴坐标原点到 ， 距离的比值为3.
【解析2】由对称性设 ，则
点 关于点 对称得：
得： ，直线
切点
直线
坐标原点到 距离的比值为 。
（21）（本小题满分12分）设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4－1：几何选讲
如图，D，E分别是△ABC边AB,AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点，若CF∥AB，证明：
(Ⅰ) CD=BC;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD.
【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识，是简单题.
【解析】(Ⅰ) ∵D，E分别为AB,AC的中点，∴DE∥BC，
∵CF∥AB， ∴BCFD是平行四边形，
∴CF=BD=AD， 连结AF，∴ADCF是平行四边形，
∴CD=AF，
∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC；
(Ⅱ) ∵FG∥BC，∴GB=CF，
由(Ⅰ)可知BD=CF，∴GB=BD,
∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.
23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程是 （ 是参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 :的极坐标方程是 =2，正方形ABCD的顶点都在 上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2， ）.
(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标；
(Ⅱ)设P为 上任意一点，求 的取值范围.
【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型.
【解析】(Ⅰ)由已知可得 ， ，
， ，
即A(1， )，B（－ ，1），C（―1，― ），D（ ，－1），
(Ⅱ)设 ，令 = ，
则 = = ，
∵ ，∴ 的取值范围是[32,52].
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数 = .
(Ⅰ)当 时，求不等式 ≥3的解集；
(Ⅱ) 若 ≤ 的解集包含 ，求 的取值范围.
【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.
【解析】(Ⅰ)当 时， = ，
当 ≤2时，由 ≥3得 ，解得 ≤1；
当2＜ ＜3时， ≥3，无解；
当 ≥3时，由 ≥3得 ≥3，解得 ≥8，
∴ ≥3的解集为{ | ≤1或 ≥8}；
(Ⅱ) ≤ ，
当 ∈[1,2]时， = =2，
∴ ，有条件得 且 ，即 ，
故满足条件的 的取值范围为[－3,0].
