容斥原理
某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
短跑 17人 游泳 18人 投掷15人 （ 短跑、游泳）6人 （ 短跑、投掷）6人 （ 游泳、投掷）5人 （ 短跑、游泳、投掷 ）2人
求这个班的学生共有多少人？
第1个回答 2012-07-05
先要理解容斥原理：基本模型：2种类型的时候：游泳x人，短跑y人，同时游泳和短跑z人，则总人数为x+y-z人。可以这样理解：游泳x人，同时两项的有z人，则只游泳的有x-z人，所以总人数为只游泳的人加上短跑的人，即x+y-z人。对于更多项的一样可以解决。可以借助图表的方法解决。
每个椭圆表示一项优秀的，两个椭圆的公共部分表示两项同时优秀的，由此可得总人数为
7+4+9+4+2+3+6+4=39人。
实际上，对于这个问题，一般的有公式：
有n项活动A1，A2，A3，。。。，An，参加A1的有（A1）人，参加A2的有（A2）人，。。。
参加An的有（An）人，同时参加两项的有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4）。。。
（A1，An），（A2，A3），（A2，A4），。。。，（A2，An），。。。
（An-1，An）。同时参加三项的，。。。。同时参加n项的人。
那么总人数是参加一项的人数减去参加两项的人数，再加上同时参加三项的人数，再减去同时参加四项的人数，一直到加上【（-1）^(n+1)】×（A1，A2，。。。An）。
运用公式。此题为17+18+15-6-6-5+2再加4个都不优秀的，总共39人。
第2个回答 2012-07-05
17+18+15-6-6-5+2+4=39追问
额 谢谢 、
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