第1个回答 2020-10-08
定义域（domain of definition）指自变量x的取值范围，是函数三要素(定义域、值域、对应法则）之一，对应法则的作用对象。求函数定义域主要包括三种题型：抽象函数，一般函数，函数应用题。
定义一：设x、y是两个变量，变量x的变化范围为D，如果对于每一个数x∈D，变量y遵照一定的法则总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈D，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域。[1]
定义二：A，B是两个非空数集，从集合A到集合B 的一个映射，叫做从集合A到集合B 的一个函数。记作 或 其中A就叫做定义域。通常，用字母D表示。通常定义域是F(X)中x的取值范围。
1，给定定义域：例如：函数 的定义域为给定的集合{1,2}。
2，一般函数的定义域：使函数有意义的一切实数。例如：函数y=1/x的定义域为 。R为任意实数。也可以写做
3，实际问题：根据具体情况求定义域。
4，当然，也会运用到动力物理学中求变量
类型一
已知 的定义域，求的定义域.
例1.已知 的定义域为（-1，1），求 的定义域.
略解：由 有
∴的定义域为（0，1）
类型二
已知的定义域，求 的定义域.
例2.已知的定义域为（0，1），求 的定义域.
解：已知0<x<1
∴-1<2x-1<1
∴的定义域为(-1，1)
注意比较例1与例2，加深理解定义域为x的取值范围的含义。
类型三
已知的定义域，求的定义域.
例3.已知的定义域为（0，1），求的定义域。
略解：如例2，先求出 的定义域为（-1，1），然后如例1
有 ，即
∴的定义域为（0，2）
指使函数有意义的一切实数所组成的集合。
其主要根据：
①分式的分母不能为零
②偶次方根的被开方数不小于零
③对数函数的真数必须大于零
④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1
注意：答案一般用区间表示。
类型四
函数应用题的函数的定义域要根据实际情况来求解。
值域，数学名词，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。
在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。
函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}
常见函数值域：
y=kx+b （k≠0）的值域为R
y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)
y=√x的值域为x≥0
y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ；
当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]
y=a^x 的值域为 (0,+∞)
y=lgx的值域为R
在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。 把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法；
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。。 例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y2+3y+2-12=y2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x2+x+5)(x2+x-2) =(x2+x+5)(x+2)(x-1)． 例2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4 解得m=6,n=2 所以x+5=6,y-4=2 所以x=1,y=6 注意：换元后勿忘还原；
利用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域；
图像法
根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。
配方法
利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。