笔记 | 计算机系统基础：02-逻辑运算电路

Question

如题所述

Answer 1

如果没学过基础逻辑电路，应该是有专门的一门课《数字逻辑电路》，那门课里有更详细的介绍。因为比较注重逻辑推理，据大学的数电老师说，自从教了这门课，反正他打桥牌就没怎么输过。在计算机系统基础这门课里只是引用一些逻辑部件，更重要的是理解C语言中各类运算是怎么通过电路实现的，由此可能存在怎样的溢出问题，这才是我们学习的重点。

另外，推荐大家一本书《编码：隐匿在计算机软硬件背后的语言》，可以看成是“如何一步步搭建一台计算机”，但是却一点都不晦涩难懂，非常生动有趣哦。

从运算符无法区分，由X的类型决定：

无符号数和带符号数加减运算都用以下部件完成：

注：其实所谓的产生溢出，无非就是最后运算的结果超出了当前类型能表示的范围，所以同样两个数相加减，当成无符号数或有符号数，溢出结果就可能不同。另外虽然我们上面进行了分类讨论，但是对于输入到整数加减运算器中的两个数，计算机可不管你是无符号数还是带符号数，一律都按同样的方式进行运算，然后把标志位存下来，至于你要拿这个结果当无符号数还有符号数，或者判断是否借位/溢出，都是你的事，这一点要记在心里。

两个n位整数相乘，结果只取2n位乘积中的低n位，高n位可以用来判断溢出：

需要注意计算机硬件是不判溢出的，仅保留2n位乘积，供软件使用，所以程序需进行一些防溢出的处理。

另外，整数乘法运算比较耗费时钟周期，因此编译器在处理 变量与常数相乘时，往往用移位、加法和减法的组合来代替 。如：x 20 = x (16+4) = (x<<4)+(x<<2)，之前记得左移可能产生溢出，所以不论是否溢出，两种运算方式结果都是一样的。

对于整数除法外，因为商的绝对值不可能比被除数的绝对值大，所以 不会发生溢出，只有一种例外 ： 带符号整数的-2 ^n-1 /-1 = 2 ^n-1 ，记得我们介绍补码时曾说过补码能增加表示一个最小负数吗?不过它没有对应的正数，所以如果对它除-1，就发生溢出了。

另外，整数除法运算更耗时钟周期，所以为了缩短运算时间，编译器在处理 一个变量与一个2的幂次形式的整数相除时，常用逻辑/算术右移运算来实现 。如：3 = 12/4 = 0000 1100 >> 2 = 0000 0011 = 3，-3 = -12/4 = 1111 0100 >> 2 = 1111 1101 = -3。

整数除法是有可能不能整除的，那就必须采用 朝零舍入 的截断方式。

若两个规格化浮点数为A = M _a ·2 ^{E _a} ，B = M _b ·2 ^{E _b} ，则：
A±B = (M _a ± M _b ·2 ^{-(E _a -E _b )} )·2 ^{E _a} （假设E _a >= E _b ）
A*B = (M _a * M _b )·2 ^{(E _a +E _b )}
A/B = (M _a / M _b )·2 ^{(E _a -E _b )}

以上运算有可能出现几种情况：
阶码上溢 ：正指数超过最大允许值（127） => +∞/-∞/溢出
阶码下溢 ：负指数超过最小允许值（-126） => +0/-0
尾数溢出 ：最高有效位有进位 => 右规 （结果不一定溢出）
非规格化尾数 ：数值部分高位为0 => 左规
右规或对阶时 ，右段有效位丢失 => 尾数舍入 （可以运算过程中添加保护位）

举例说明如何计算浮点数加/减法：
0.5 + (-0.4375)
= 1.000 x 2 ^-1 + (-1.110 x 2 ^-2 ) （规格化）
= 1.000 x 2 ^-1 + (-0.111 x 2 ^-1 ) （对阶，小阶向大阶看齐，尾数右移）
= 0.001 x 2 ^-1 （尾数加减）
= 1.000 x 2 ^-4 （规格化，左规：左移一位，阶码减1，判断是否有阶码溢出）
= 0.0625 （是否需要考虑舍入；如果尾数是0，则需将阶码也置0，表示0）

在尾数右移的过程中，可能会发生超出规定位数的情况，可以在尾数右边放 一个保护位和一个舍入位 ，用来保护对阶时右移的位或中间结果，当左规时被移入尾数中，作为舍入判断的依据。
举个例子：（假设尾数只有3位有效位）
0.59375 = 0.5 + 0.09375 = 1.00 x 2 ^-1 + 1.10 x 2 ^-4 = 1.00 x 2 ^-1 + 0.00 x 2 ^-1 （没有附加位）= 1.00 x 2 ^-1 = 0.5
0.59375 = 0.5 + 0.09375 = 1.00 x 2 ^-1 + 1.10 x 2 ^-4 = 1.00 x 2 ^-1 + 0.0011 x 2 ^-1 （两位附加位）= 1.0011 x 2 ^-1 = 1.01 x 2 ^-1 （舍入进位） = 0.625 （结果比上面更精确）
IEEE 754舍入的方式主要有就近舍入（舍入为最近可表示的数），正向舍入（+∞方向），负向舍入（-∞方向），和朝0方向舍入（正数floor，负数ceil）

C语言中有float和double类型的浮点数，分别对应IEEE 754单精读浮点数格式和双精度浮点数格式，那么在类型强制转换的时候可能会有什么问题？（这就是为什么我们要学习数据在计算机中真正的存储形式）

注：文中图片来源于mooc官网