第1个回答 2014-02-25
证明：充分条件：由α+β+γ=0且向量α、β、γ不共线，可知向量α、β、γ是组成一个三角形的三条边，三个向量的方向彼此首尾相接。而α×β（β×γ或γ×α）是矢量的外积，结果还是一个矢量，根据两个矢量的外积运算法则（右手法则），α×β、β×γ和γ×α的方向相同，都是垂直于α、β、γ组成的三角形平面向上或者向下。而α×β（β×γ或γ×α）的模都是α、β、γ组成的三角形面积的2倍，因此α×β、β×γ和γ×α的模相等且方向相同，推到α×β=β×γ=γ×α。
必要条件：由α×β=β×γ=γ×α得到：α×β-β×γ=0，β×γ-γ×α=0，α×β-γ×α=0，再根据a×b=-b×a得到α×β+γ×β=0，β×γ+α×γ=0，α×β+α×γ=0，再根据矢量外积的分配律运算法则，（α+γ）×β=0，（α+β）×γ=0，（γ+β）×α=0，推到α+γ=μ1β，α+β=μ2γ，β+γ=μ3α（由α、β、γ不共线可知μ1、μ2、μ3均为常数，且不等于0），解上面三个方程得：μ1=μ2=μ3=-1。从而得到α+γ=μ1β=-β即α+β+γ=0。
今天才看到你的题目，希望能帮到你。
必要条件：由α×β=β×γ=γ×α得到：α×β-β×γ=0，β×γ-γ×α=0，α×β-γ×α=0，再根据a×b=-b×a得到α×β+γ×β=0，β×γ+α×γ=0，α×β+α×γ=0，再根据矢量外积的分配律运算法则，（α+γ）×β=0，（α+β）×γ=0，（γ+β）×α=0，推到α+γ=μ1β，α+β=μ2γ，β+γ=μ3α（由α、β、γ不共线可知μ1、μ2、μ3均为常数，且不等于0），解上面三个方程得：μ1=μ2=μ3=-1。从而得到α+γ=μ1β=-β即α+β+γ=0。
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