第1个回答 2022-11-24
1、三角形面积公式 S= (L1*L2*sinα)/2
2、sinα = (1-cosα^2)^1/2
3、向量a(x1, y1)，b(x2, y2)夹角公式 cosα = ab/(L1*L2)
夹角余弦值=向量点乘 /（向量长度相乘）
4、sinα= (1-cosα^2)^1/2 = (1 - (ab/(L1*L2))^2 )^1/2 = ((L1*L2)^2 - (ab)^2)^1/2 / (L1L2) = ((x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2) - (x1x2+y1y2)^2)^1/2 / (L1*L2) = (x1^2*y2^2+y2^2*x1^2-2x1y1x2y2)^1/2 / (L1*L2) = |(x1y2-x2y1)| / (L1*L2)
5、S = (L1*L2*sinα)/2 = |(x1y2-x2y1)|/2
6、上式中 x1 x2 y1 y2 都是向量分量值，是建立在 三角形其中一个顶点已经移到了原点（0,0）的基础上的。对于更一般的形式
三角形三个顶点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)
向量a(x1-x3, y1-y3),b(x2-x3, y2-y3)
代回到5中的式子，S = |(x1-x3)*(y2-y3)-(x2-x3)*(y1-y3)|/2
但是个人觉得记住这个复杂的式子没有意义，还是理解并记住向量形式的表示，也就是5中的式子就可以了
实际上我们来看平面坐标系里的两个向量
a(x1, y1)，b(x2, y2)
列成矩阵形式
|x1 y1|
|x2 y2|
这个 2*2 矩阵的行列式的绝对值就是 |x1y2-x2y1|，这就是以 a,b 为两条边的平行四边形的面积，自然以 a,b 为两条边的三角形面积就是 |(x1y2-x2y1)|/2 了
更多地，我们来看三维空间坐标系里的三个向量
a(x1, y1, z1)，b(x2, y2, z2)，c(x3, y3, z3)
列成矩阵形式
|x1 y1 z1|
|x2 y2 z2|
|x3 y3 z3|
这个 3*3 矩阵的行列式的绝对值就是 |x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-z1y2x3-z2y3x1-z3y1x2|，这就是以 a,b,c 为边的平行六面体（盒子）的体积
所以求空间中（更高维空间也可以）的“盒子”体积的方法就是求矩阵的行列式的绝对值（当然，“盒子”得是在高维空间中满维度的，例如二维空间中必须是个平行四边形，不能是直线；三维空间中必须是个平行六面体，不能是二维平面）
反过来看二维空间三角形面积求法，是可以通过矩阵行列式轻松求得的，比起用三角函数会简单很多。