三正数abc平均数的三次方小于等于他们三次方的平均数有没有会证明的啊

Question

如题所述

Answer 1

因[(a+b+c)/3]^3
=(1/27)(a+b+c)(a+b+c)^2
=(1/27)(a+b+c)[(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)]
而由基本不等式或排序不等式有
2(ab+bc+ca)≤2(a^2+b^2+c^2)（a=b=c时取等）
则[(a+b+c)/3]^3
≤(1/9)(a+b+c))(a^2+b^2+c^2)（a=b=c时取等）
=(1/9)[(a^3+b^3+c^3)+(ab^2+bc^2+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)]
又由排序不等式有
ab^2+bc^2+ca^2≤a^3+b^3+c^3（a=b=c时取等）
a^2b+b^2c+c^2a≤a^3+b^3+c^3（a=b=c时取等）
所以[(a+b+c)/3]^3≤(a^3+b^3+c^3)/3（a=b=c时取等）
即原命题成立
说明：
令a≤b≤c
则a^2≤b^2≤c^2
依据排序不等式,以上两组数的同序积和不小于乱序积和
这里a^3+b^3+c^3为同序积和
而ab^2+bc^2+ca^2、a^2b+b^2c+c^2a都是乱序积和