幂的大小比较方法中的比差法和比商法是什么?举例题说明下,

Question

如题所述

Answer 1

1；比商法
有时我们遇到的不是单个幂的大小比较,而是幂经过乘法运算后产生了相关联的因式大小比较,这时我们一般采用商值比较法完成它们的大小比较.
例4．比较 与 的大小.因为 ,
通过本题的研究我们得到了这样的经验：当底数与指数都不同,中间量又不好找,可采用作商比较法,即对两值作商,看其值是大于1还是小于1．从而确定所比值的大小,当然一般情况下,这两个值最好都是正数．
2；比差法
当我们遇到的不是单个幂的大小比较,而是幂经过加减运算后产生了相关联的多项式大小比较时,一般采用差值比较法完成它们的大小比较.
例5　设m＞n＞0,a＞0且a≠1,试比较am+a-m与（an+a-n）的大小．
由于（am+a-m）－（an+a-n）＝am+a-m－an-a-n＝（am-an）+（a-m-a-n）＝an（am-n-1）+a-m（1-am-n）＝（am-n-1）（an-a-m）．
（i）当a＞1时,∵m-n＞0,　∴am-n-1＞0 ．
又m＞n＞0,　∴an＞1,am＞1故a-m＜1 ,从而an-a-m＞0,
∴（am-n-1）（an-a-m）＞0,∴am+a-m＞（an+a-n）．
（ii）当0＜a＜1时,
∵m-n＞0,∴am-n＜1,即am-n-1＜0．
又m＞n＞0,　∴an＜1,a-m＞1故an-a-m＜0．
∴（am-n-1）（an-a-m）＞0．　综上所述am+a-m＞（an+a-n）．
事实上作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法,即对两值作差,看其值是正还是负,从而确定所比值的大小．