基本不等式问题

Question

a+b+c=1
证明ab+bc+ac<=1/3

Answer 1

A+B+C=1,A>0 B>0C>0 1\A+1\B+1/C =(A+B+C)/A+(A+B+C)/B+(A+B+C)/C =1+B/A+C/A+1+A/B+C/B+1+A/C+B/C =3+B/A+A/B+C/A+A/C+C/B+B/C>=3+6=9 基本不等式 最小值为9 2. 1/a+1/b+1/c>=3*三次根号1/(abc) 因为abc<=((a+b+c)/3)^3 所以1/(abc)>=27/(a+b+c)^3 所以原式>=3*三次根号27/(a+b+c)^3=9 当且仅当a=b=c=1/3时等号成立

Answer 2

把a+b+c=1给平方，得出a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)=1①
因为a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
a²+c²≥2ac
将三式相加再代入①得3（ab+bc+ac）≤1
所以证明ab+bc+ac<=1/3本回答被提问者采纳

Answer 3

(a+b+c)^2=1，
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1,
a^2+b^2>=2ab,a^2+c^2>=2ac,b^2+c^2>=2bc;
上面三式相加得到a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac;
所以a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1>=3（ab+ac+bc)得证

Answer 4

(a+b+c)^2=1 (^代表平方）
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1
又∵a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac
∴1=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)>=3(ab+bc+ac)
∴3(ab+bc+ac)<=1
∴ab+bc+ac<=1/3