第1个回答 2022-07-01
不知道是多少次去看这书了，可惜每一次都不得不暂时放手，不能坚持看完。
复变函数是很神奇的一个领域，总有人说它很简单，那估计是为了考试吧，因为相比于实数域内的函数及其微积分，复数域确实十分的神秘而微妙。
通常的数系的拓展不过是将点取得更密一些，从自然数，到整数，比例数，实数，它们的发展逃脱不出这个实数线，并没有本质的变化，但是，复数需要一个平面来表示，将数的维度由一维升为了二维，这是非常奇怪的事，但是又合情合理，既然实数可以把数从孤立的点拓展为连续的线，那复数将这条线给拓展为一个面又有什么不合适的呢？
然后是复数的代表运算，加法和乘法，加法是独立分量的运算，乘法也是独立分量的运算，但是它们采用的独立分量是不一致的，加法对应的是笛卡尔坐标的虚实轴，乘法对应的是极坐标的半径和角度，这两种坐标之间又具有联系，所以各自的独立性却导致了相互的联系性。这里，我感觉加法和乘法恐怕不是复数的本质运算，应该有某一种或几种更加精妙的运算可以实现真正的独立运算。就像张量之于具体坐标，一个是本质，一个是表象。显然，目前的加与乘是表象。
其实，上面这个问题可能是比较深刻的，即使在整数范围内，加法和乘法是否就是真的独立的呢？这个问题与世界难题abc猜想有关。
不过，这里更多的是关于二维数的问题，二维就应该可以表示为两个独立分量，就像向量一般，泾渭分明，互不干扰，但是，复数的乘法却在破坏这种独立性。虽然有人将复数的代数结构同构于二维对称矩阵的代数结构，不过，这真的是复数的本质吗？因为我并没有看相关的研究，所以也不能评价它的对错。假如真的是这样的同构，那估计也是局限在代数上，对于分析上的结果可能是无法继承的，不然的话，就产生了一个新的研究领域了。
什么是解析函数，如何判断，这些问题看书就能知道了。但是，解析函数是什么呢？我们都知道，实变函数是一个图像，总可以实际的或者示意的画出来，称之为函数的图像。看到一个图像，可以很容易的得到很多信息，这个函数的许多性质都可以从图中不费力的得到。
可是，复变函数画不出来，或者说很难在一幅图中画出来，有人采用模值与幅角的方法，模值为数值，幅角为颜色。实话说，这并不高明，而且很难去理解，颜色已经被附加上了特定含义，也就是等高线，用它去表示角度，实在是让人费解。但是把幅角作为数值就更让人难以理解了，因为它是一个周期量，表示在直线轴上更加难以理解了。
就因为图像画不出来，就导致复变函数的许多性质变得难以理解。像是处处不解析的函数，这就像处处不可导的函数一样难以想象。甚至更加难以想象，即使是性质良好的解析函数，也有许多看起来很古怪的性质，平均值定理，解析函数在某点的值等于以他为圆心，任意圆周上的值的平均值，由此得到最大模定理，函数模值的最大值不会出现在区域中，而应该在区域的边界上。对于解析区域为整个复平面的整函数而言，意味着函数的最大模值一定出现在无穷远处。
如果解析函数的图像可以画出，对于平均值定理而言，围绕任一点所做的一组同心圆看起来总是相对于圆心的值而振荡，对于圆心值的一个微小的修改都将导致无穷多的点随之变化。这是很神奇的事情，说明解析函数不可能对局部连续形变而其余部分保持不变，似乎暗示了解析函数保解析变换的依赖性和不连续性，就像量子化假设一般，只能取整体的某些分立值。
最大模定理姑且还是可以画出的，因为只涉及到了模值，可以画成三维空间的曲面，也就是二元函数的图像。
指数函数与正弦函数，都是整函数，所以模值最大点在无穷远。
单奇点的解析函数，模值最大出现在奇点处，也就是解析域的边界上。
至少在模值性质方面还是可以直观的看到。也算是一些安慰。
为什么图像无法画出？复平面也不过是一个平面而已，即使再怎么弯曲，扭转，拉伸至少在三维空间中还是可以表示的。可惜，这样表示出的曲面只依赖于单个参数，复数有着两个参数，于是，就不得不加入时间维度，变为随时间变化的二维曲面。
这其实也反映了复数强大的应用场景，表示一个时变的二维场。不管它是流场，电场，还是温度场。可是，总是还是让人遗憾的，如果现实是四维的就好了，那将会是多么精彩的世界。
微积分互相联系是已经广为人知，所谓的牛顿莱布尼兹公式，高斯公式，斯托克斯定理或者说是外微分的斯托克斯公式，表现在物理中是区域无源漏的连续性方程。
但是，解析函数给出了另一种联系，围绕某点的奇点积分，与该点的导数值的关系，这是更进一步的联系，毕竟前面的那些定理公式是绝不允许内部有奇点存在的。
零点与奇点本身就是复变函数中占比极重的内容，失去了奇点，那整个理论就变得干瘪而无聊。无非就是实数理论的平凡推广罢了。正是奇点的存在使得它变得神秘而微妙。奇点是不符合定义的点，是无视规则的点，是规则的边界，也就是解析函数的边界。许许多多的定理都表明了，解析函数内部其实空空如也，没有什么出彩的定理，是一个完美而无趣的天堂。反而是边界上有些各种奇妙性质。像之前提及的平均值定理，最大模定理，还有柯西积分公式，洛朗级数。绕奇点转一圈和转很多圈可能有些本质区别，也可能没有区别，这就导致了奇点的分类。虚假的奇点，极点和本质奇点。
奇点，在我看来就是平整表面上的凹坑，光线照到凹坑之外的地方，得到的是完美的反射光，然而，一旦接近这些凹坑，反射光就变得弯曲起来，性质变得十分的奇怪，随着进一步接近，甚至于包围了这个凹坑，形成了一个光圈，解析函数和光毕竟还是有所差别的，但是当积分路径靠近奇点时就不得不避开他，变得弯曲，假使不小心包住了，那麻烦就大了，积分值就变得很奇怪，要么是增加了某个特定值的整数倍，要么直接变成了发散的结果。
尽管，这些结果都可以通过理论得到一个数值上的原因，但这是远远不够的，数学如果不能应用于现实中，也只是一种美学，因人而异，而如果可以用来解释现实世界，就成为了强有力的逻辑支撑，以至于所有人都应该去理解它。
现实中的奇点，最出名的就是宇宙中的黑洞，它破坏了整个宇宙的平整，还有许多其他的奇点，比如，水池中的漏孔，光滑表面上的凹坑，围绕着奇点总会出现旋转的现象，似乎有什么东西在源源不断的被吸入奇点中。这种说法也是很有道理的，一般来说，这个点总可以将东西全部吸入，然后随着物质的消失而隐匿起来，不过，如果物质在不断的得到补充，那就能维持着微妙的平衡，复变函数中的奇点就是这种维持着的奇点，它不会把函数值吸进去，而仅仅保持着自身的存在。
从这个角度看的话，奇点就是一个漏孔，围绕这个漏孔会导致一个旋量，这个旋量才是导致积分值变化的元凶。不过，这样一来奇点就变得不够神秘了，变成了一个随处可见的存在，就像随处可见的漩涡一样。不过，本来就是一个普遍存在的东西，不过人们总是忽略它罢了。