设等比数列{an}的公比q≠1,Sn表示数列{an}的前n项的和,Tn表示数列{...

Question

设等比数列{an}的公比q≠1,Sn表示数列{an}的前n项的和,Tn表示数列{an}的前n项的乘积,Tn(k)表示{an}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积,即Tn(k)=Tnak(n,k∈N+,k≤n),则数列SnTnTn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)的前n项的和是______(用a1和q表示)

Answer 1

∵等比数列{an}的公比q≠1,
Sn表示数列{an}的前n项的和,Tn表示数列{an}的前n项的乘积,
Tn(k)=
Tn
ak
(n,k∈N+,k≤n),
∴
Tn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
=
a1×a2×a3×…×an
a2×a3×…×an+a1×a3×…×an+a1×a2×…×an-1
=
a1n•q
n(n-1)
2
a1n-1•q
n(n-1)
2
+a1n-1•q
(n-2)(n+1)
2
+…+a1n-1•q
(n-2)(n-1)
2
=
a1
1+q-1+q-2+…+q1-n
=
a1•(1-q1-n)
1-q-1
,
∵Sn=
a1(1-qn)
1-q
,
∴
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
=
a12(1+q-qn-q1-n)
2-q-q-1
,
数列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n项的和
S=
a12
2-q-q-1
[(1+q-q-1)+(1+q-q2-q-1)+(1+q-q3-q-2)+…+(1+q-qn-q1-n)]
=
a12
2-q-q-1
[n+nq-
q(1-qn)
1-q
-
q-1(1-q1-n)
1-q-1
]
=
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
).
故答案为:
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
).