运用拉格朗日中值定理证明

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第1个回答 2019-01-08

考察函数 f(x)＝e^x，
当 x＞0 时，函数在 [0，x] 上满足拉格朗日中值定理，因此存在 ξ∈(0，x) 使
f'(ξ)＝[f(x) - f(0)] / (x - 0)，
也即 e^ξ ＝ (e^x - 1) / x，
由于 e^ξ＞e^0＝1，
所以 (e^x - 1) / x＞1，因此 e^x＞1＋x；
当 x＜0 时，用 [x，0] 上的拉格朗日中值定理，同理可得 e^x＞1＋x。

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如何证明拉格朗日中值定理?答：这就是拉格朗日中值定理的结论，它表明在某个点 cc 处，函数的导数等于函数在区间两端点处的斜率差。这是拉格朗日中值定理的证明步骤，其中的关键是构建辅助函数，并验证其满足罗尔定理的条件，然后应用罗尔定理，最终得到拉格朗日中值定理的结论。

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