求二次函数表达式。

Question

已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，点A,C的坐标分别是（8,0）（0,4）。
要过程，清晰点的。谢谢

Answer 1

二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax�0�5+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax�0�5+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)�0�5+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b�0�5)/4a x1,x2=(-b±√b�0�5-4ac)/2a
III.二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x�0�5的图象，
可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P [ -b/2a ，(4ac-b�0�5)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b�0�5-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b�0�5-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b�0�5-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b�0�5-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax�0�5+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax�0�5+bx+c=0
此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

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Answer 2

因为二次函数f(x)=ax^2+bx+c的顶点坐标为（-1，0），
所以b=2a，c=a
不等式x<=f(x)<＝1/2(x^2+1)恒成立，
即不等式x<=ax^2+2ax+a<＝1/2(x^2+1)恒成立
所以a>0且(2a-1)^2-4a^2<=0
a-1/2<0且4a^2-4(a-1/2)^2<=0
解得0<a<=1/4且1/4<=a<1/2
即a=1/4，
所以b=1/2，c=1/4
所以f(x)=1/4x^2+1/2x+1/4=(x+1)^2/4