定积分23题如何求麻烦详细说明一下谢谢

Question

如题所述

Answer 1

定积分的计算，主要是先求出不定积分的表达式，然后代入上下限，即可得到定积分的值。
举例子计算如下：
∫[0,π](x+1)sinxdx定积分计算
定积分直接求法：
∫[0,π](x+1)sinxdx
=-∫[0,π](x+1)dcosx
=-∫[0,π]xdcosx-∫[0,π]dcosx
=-xcosx[0,π]+∫[0,π]cosxdx-cosx[0,π]
=-πcosπ+sinx[0,π]-(cosπ-cos0)
=π+0-(-1-1)
=π+2。
上下限换元法:

∫[0,π](x+1)sinxdx，设x=π-t，
则t=π-x，代入得：
I=∫[0,π][(π-t)+1]sin(π-t)d(π-t)，
=-∫[π,0][(π-t)+1]sin(π-t)dt,
=∫[0,π][(π-t)+1]sin(π-t)dt
=∫[0,π][(π-t)+1]sintdt
=∫[0,π](π-t+1)sintdt
=∫[0,π][π+2-(t+1)]sintdt
=(π+2)∫[0,π]sintdt-∫[0,π](t+1)sintdt
=(π+2)∫[0,π]sintdt-I,则：
2I=(π+2)∫[0,π]sintdt,
I=(1/2)(π+2)∫[0,π]sintdt,
I=-(1/2)(π+2)cost[0,π],
I=-(1/2)(π+2)(cosπ-cos0)
所以：I=π+2。
定积分公式法：
根据定积分公式∫[0,π]xsinxdx=(π/2)∫[0,π]sinxdx有：
∫[0,π](x+1)sinxdx
=∫[0,π]xsinxdx+∫[0,π]sinxdx
=(π/2)∫[0,π]sinxdx+∫[0,π]sinxdx
=(π/2+1)∫[0,π]sinxdx
=-(π/2+1)cosx[0,π]
=-(π/2+1)(cosπ-cos0)
=2(π/2+1)
=π+2.