第1个回答 2012-03-28
(1).已知正方体ABCD-A1B1C1D1,的棱长是1,则点D1到AC的距离为？
解：连接AC，AD₁，CD₁，则△ACD₁是一个边长为√2的正三角形，故点D₁到AC的距离就是
该三角形的高h=(√2)sin60°=(√6)/2.
(2).已知M₁(2，3，1），M₂(4，1，2)，M₃(6，3，7)；D(-5，-4，8)，则点D到平面M₁M₂M₃的距离为？
解：先求平面M₁M₂M₃的方程：设A、B、C不同时为0，那么可设过此三点的平面的法线矢量
为{A，B，C}，于是可设过M₁的平面方程为A(x-2)+B(y-3)+C(z-1)=0...........(1)
M₂，M₃在此平面上，故得两条件;
A(4-2)+B(1-3)+C(2-1)=0
A(6-2)+B(3-3)+C(7-1)=0
即有2A-2B+C=0..........(2)；4A+6C=0............(3)
由(1)(2)(3)组成的关于A、B、C的齐次方程组有非零解的充要条件是下面的三阶行列式=0
︱x-2.......y-3.........z-1︱
︱ 2........-2...........1..︱=0
︱ 4........0............6..︱
展开此行列式即得平面方程为：-3x-2y+2z+10=0
故点D到该平面的距离d=︱-3×(-5) -2×(-4)+2×8+10︱/√(9+4+4)=︱15+8+16+10︱/√17=49/√17
(3）已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是？
解：在底面ABCD内，过D作DG⊥AE，G为垂足，连接GD₁，则∠DGD₁就是截面AEFD1与底面ABCD所成二面角。tan∠BAE=1/2；由于DA⊥AB，DG⊥AE，∴∠ADG=∠BAE，故
GD=ADcos∠ADG=ADcos∠BAE=1/√[1+tan²∠BAE]=1/√(1+1/4)=2/√5；
GD₁=√(DD²₁+GD²)=√(1+4/5)=3/√5
∴sin∠DGD₁=DD₁/GD₁=1/(3/√5)=√5/3
(4)正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF⊥AC,EF⊥A1D，则EF与BD1所成的角是？
解：连接BD，由于ABCD是正方形，故BD⊥AC，BD是BD₁在平面ABCD内的射影，
∴BD₁⊥AC；再连接AD₁，同理AD₁⊥A₁D，AD₁是BD₁在平面AA₁D₁D内的射影，
∴BD₁⊥A₁D，故BD₁与异面直线AC与A₁D的公垂线EF平行，即EF与BD1所成的角是0°.
(5)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，MN分别是A1B,B1B的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是？
解：取DC的中点E，连接ME，MN，NC，则四边形MNCE是矩形，ME∥NC，故∠AME就是异面
直线AM与CN所成的角。连接AE，在△AME中，AM=ABcos45°=√2/2，ME=CN=AE=√[1+(1/2)²]
=(√5)/2；在△AME中使用余弦定理得cos∠AME=(AM²+ME²-AE²)/(2AM×ME)
=(2/4+5/4-5/4)/[2×(√2/2)×(√5/2)]=1/√10=(√10)/10.
(6)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B₁C和C₁D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值是？
解：设长方体的侧棱AA₁=BB₁=CC₁=DD₁=1，因为C₁D与底面成45°，所以长方体的长AB
=A₁B₁=C₁D₁-CD=1；又因为B₁C与底面成60°，所以长方体的宽AD=A₁D₁=B₁C₁=BC
=1/tan60°=1/√3=√3/3.
连接A₁D，则A₁D∥B₁C，故∠A₁DC₁就是异面直线B₁C和C₁D所成的角。
在△A₁DC₁中，A₁D=√[1+(√3/3)²]=2/√3；DC₁=√2；A₁C₁=A₁D=2/√3。
故cos∠A₁DC₁=(A₁D²+DC²₁-A₁C²₁)/(2A₁D×DC₁)=(4/3+2-4/3)/[2×(2/√3)×(√2)]
=2/[4√(2/3)]=(1/2)√(3/2)=(√6)/4