已知三条射线PA,PB,PC两两夹角都是60度,则二面角A-PB-C的余弦值

Question

如题所述

Answer 1

解： 如图，过C做CO┴平面PAB交∠APB的角平分线PO于O点，过O作OA┴PA于A，OB┴PB于B，连接CA，CB，OA，OB，AB；过A作AE┴PC交PC于E，连接BE；由对称性知BE┴PC。所以二面角A-PC-B的角度为∠AEB。
设OA=1，∠APO=30°，在Rt△APO 中，有PA=√3，PO=2；由于PA┴AO，CO为垂线，AO为斜线CA在平面上的射影，根据三垂线定理可知PA┴CA，所以在Rt△APC中PA=√3，PC=2√3，CA=3.
在△CPA中，根据面积相等有PA*CA =PC *EA
√3*3=2√3*EA ; ∴EA =1.5,同理EB=1.5；
在△OAB中，OA=OB=1，∠AOB=120°，可以解得AB=√3；∴cos∠AEB=(1.5^2+1.5^2-√3^2) / 2(1.5*1.5)=1/3.
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