正弦定理（The
Law
of
Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA
=
b/sinB
=c/sinC
=
2R（R为外接圆半径）。
中文名
正弦定理
外文名
The
Law
of
Sines
别
称
The
Sine
Law
表达式
a/sinA
=
b/sinB
=
c/sinC
=
2R
提出者
韦达（海伦、秦九韶）
提出时间
10世纪
应用学科
数学
适用领域范围
几何
适用领域范围
三角关系
目录
1
定理内容
2
定理证明
3
公式变形
4
定理意义
5
实际应用
定理内容编辑
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有：
即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。[1]
定理证明编辑
示意图（A）
显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。若
1
∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c=
2R。[1]
∵
（特殊角正弦函数值）
∴
2
若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`'交
⊙O于C`，连接C'A，显然BC'=
2R。
∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。∴∠C'AB是直角。
2A
若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时
∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。
∴∠C'=∠C
∴
，有
。[2]
2B
示意图（B）
若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，此时∠C'=180°-∠C，亦可推出
。
在△DAB中，应用正弦函数定义，知
因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果，分别列式可得
。故对任意三角形，定理得证。[3]
实际上该定理也可以用向量方法证明。[4]
公式变形编辑
△ABC中，若角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形外接圆半径为R，使用正弦定理进行变形，有
1.
（齐次式化简）[5]
2.
,
,
3.
4.
5.
（面积公式）[6]
定理意义编辑
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。[3]
实际应用编辑
1、在解三角形中，有以下的应用领域：
已知三角形的两角与一边，解三角形。
已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。[6]
运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。
注意：
锐角三角形
解三角形时，已知两角与一边，三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题。
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。若已知A、A的对边a、A与a的夹边C，则：[1]
[4]
对于钝角三角形，
若a≤b，则无解；
若a>b，则有一解；
对于锐角三角形，
若a<bsinA，则无解；
若a=bsinA，则有一解；
若bsinA<a<b，则有二解；
若a≥b，则有一解。[1]
钝角三角形
2、三角形面积的计算。[2]