若直线l与抛物线c：y2=2px（p＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）...

Question

若直线l与抛物线c：y2=2px（p＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，F(p2，0)是抛物线c的焦点，则“弦长|AB|=x1+x2+p”是“直线l经过点F”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

Answer 1

解：若直线l经过点F，则根据抛物线的定义可得：|AB|=|AF|+|BF|=x1+
p
2
+x2+
p
2
=x1+x2+p，
∴“弦长|AB|=x1+x2+p”是“直线l经过点F”的必要条件
若弦长|AB|=x1+x2+p，假设直线l不经过点F，连接AF，BF，则|AF|+|BF|=x1+
p
2
+x2+
p
2
=x1+x2+p=|AB|，
这与直线l不经过点F矛盾，所以直线l经过点F
∴“弦长|AB|=x1+x2+p”是“直线l经过点F”的充分条件
所以，“弦长|AB|=x1+x2+p”是“直线l经过点F”的充要条件
故选C．