在读 paper 的时候，发现自己对短面板的框架逻辑有不全面的地方，在这里对各位读者说声对不起！
这是船新的版本，我将自己的理解融入其中，笔记顺序与教材不同。
毕竟我也是现学现卖，敬请谅解！
此文内容为《高级计量经济学及STATA应用》的笔记，陈强老师著，高等教育出版社出版。
我只将个人会用到的知识作了笔记，并对教材较难理解的部分做了进一步阐述。为了更易于理解，我还对教材上的一些部分（ 包括证明和正文 ）做了修改。
目录
面板数据 （ panel data ），也译为 平行数据 （ longitudinal data ），指的是在一段时间内跟踪同一组个体（ individual ）的数据。它既有横截面的维度（ 个个体 ），又有时间维度（ 个时期 ）。
通常的面板数据 较小，而 较大，在使用大样本理论时让 。这种面板数据被称为 短面板 （ short panel ）。反之，如果 较大而 较小，则被称为 长面板 （ long panel ）。
如果在面板数据中，每个时期的样本中的个体完全一样，则称为 平衡面板数据 （ balanced panel ）；反之，则称为 非平衡面板数据
在面板 模型 中，如果解释变量包含被解释变量的滞后值，则称为 动态面板 （ dynamic panel ）；反之，称为 静态面板 （ static panel ）
(1) 面板数据的优点
(2) 截面数据的缺点
当然，截面数据也会带来一些问题：
估计面板数据的 一个极端策略 是将其看成横截面数据而进行 混合回归 （ pooled regression ），即要求样本中每个个体都拥有完全相同的回归方程（ 在 15.3 讨论 ）。 另一个极端策略 是为每个个体估计一个单独的回归方程。
前者忽略了个体间不可观测或被遗漏的异质性，而该异质性可能与解释变量相关而导致估计不一致；后者则忽略了个体间的共性，也可能没有足够的的样本容量。
因此，在实践中常常采用折衷的估计策略：即假定个体的回归方程拥有 相同的斜率 ，但可以拥有 不同的截距 ，以此来捕捉异质性，如 图 15.1 所示：
这种模型被称为 个体效应模型 （ individual-specific effects model ），其模型形式为：
其中， 为不随时间而变（ time invariant ）的个体特征（ 即 ），比如性别；而 则可以随个体及时间而变（ time-varying ）。扰动项由 两部分构成，成为 复合扰动项 （ composite erroe term ），而方程 也称为 复合扰动项模型 （ error compoents model ）。
较早的文献有时将 视为 常数 ，但这也只是随机变量的特例，即退化的随机变量；而 为随个体与时间而改变的扰动项。
我们主要关注 ，这是因为“个体效应模型”的 个体特征 来源于 。 在 几何上 代表个体异质性的截距；在 统计上 则代表一个扰动项：
在短面板，我们假设 为独立同分布（长面板可以放松此假定），且与 不相关。另外，
显然，与截面数据相比，面板数据提供了更为丰富的模型与估计方法。
如果所有个体都拥有完全一样的回归方程，也就是说每个个体 连截距项都相同 ，那么方程 的 就都相等。我们记 为截距，即 ，那么方程 就可以写成：
其中， 不包含常数项。这样，就可以把所有的数据放在一起，像对待横截面数据那样进行 OLS 回归，故被称为 混合回归 （ polled regression ）。混合回归可以被称为 总体平均估计量 （ Population-averaged estimator, PA），因为可以把它理解为 将个体效应都平均掉了 。
由于面板数据的特点，虽然通常可以假设不同个体之间的扰动项相互独立，但同一个体在不同时间的扰动项之间往往存在自相关。此时，对标准误的估计应该使用 聚类稳健的标准误 （ cluster-robust standard error ），而所谓聚类（ cluster ），就是由每个个体不同时期的所有观测值所组成。同一聚类（个体）的观测值允许存在相关性，而不同聚类（个体）的观测值则不相关。
混合回归的基本假设是 不存在个体效应 。 对于这个假设必须进行统计检验 。由于个体效应以两种不同的形态存在：固定效应、随机效应，故在下面会分别介绍其检验方法。
固定效应模型是指 与某个解释变量 或 相关的个体效应模型。换句话说，由于存在一些遗漏变量，使得 与解释变量产生内生性。所以，固定效应模型求解的关键就是 如何排除内生性的干扰 ！
总的来看， 与某个解释变量 或 相关分成两种情况：
我们下面来探讨如何对两种固定效应模型进行处理。
如果 与某个解释变量 或 相关，那么此个体效应模型就变成了 固定效应模型 。这种情况下， OLS估计是不一致的 。为了得到一致的 估计量，解决的方法是将模型转换，并将 消去。
给定个体 ，将方程 两边对时间取平均，可得：
用 则可以得到原模型的 离差形式 ：
定义：
那么 就变成了：
在公式 中， 已经被消去，故只要 与 不相关，就可以使用 OLS 一致地估计 ，称为 固定效应估计量 （ Fixed Effects Estimator ），记为 。由于 使用了每个个体的组内离差信息，故也被称为 组内估计量 （ within estimator ）。即使个体特征 与解释变量 相关，只要使用组内估计量，就可以得到一致估计，这是面板数据的一大优势。
然而，在作离差变换的过程中， 也被消掉了，于是无法估计 。也就是说固定效应模型无法估计不随时间而变的变量的影响，这是 FE 的一大缺点。另外，为了保证 与 不相关，则要求第 个观测值满足严格外生性，即：
这是因为 中包含了 的所有信息。换言之，扰动项必须与各期的解释变量均不相关，这是一个比较强的假定。
如果在原方程中引入 个虚拟变量（如果没有截距，则引入 个虚拟变量）来代表不同的个体，则可以得到与上述离差模型同样的结果，即：
其中，个体虚拟变量 如果 ；否则 。可以用 OLS 估计此方程，而且我们可以证明， LSDV 法与组内估计量 FE 完全一样。因此，FE 也被称为 最小二乘虚拟变量模型 （ Least Square Dummy Variable Model, LSDV）
不过，如果作完 LSDV 后发现某些个体的虚拟变量不显著将其删去，那么 LSDV 的结果就不会与 FE 相同。使用 LSDV 的好处是可以得到对个体异质性 的估计（模型中的 ），但如果 很大，则需要在回归方程中加入很多虚拟变量，可能超出一些计量软件的最大解释变量数量。
LSDV 法深受不少研究者的喜爱，因为它操作简便，可解释性也强。
考虑固定效应模型，可以对个体效应模型 进行差分处理：
于是，把两个方程相减，就可以得到一阶差分方程，从而消除个体效应：
对此差分模型使用 OLS 估计即得到 一阶差分估计量 （ First Differencing Estimator ），记为 。由于 不再出现在差分方程中，只要扰动项的一阶差分 与解释变量的一阶差分 不相关，则 就是一致的，这比 的严格外生性要求更弱，是 的优点。
不过，可以证明，在 下， 比 更有效率。因此，在实践上，主要使用 而不是 。但对于动态面板，严格外生性无法满足，则主要用 。
上面的个体固定效应解决了不随时间而变但随个体而变（time invariant）的遗漏变量问题。
类似地，引入时间固定效应，则可解决不随个体而变但随时间而变（individual invariant）的遗漏变量问题。
假设模型为：
其中， 不可观测，定义 ，则上式可以写成：
在上式，可将 视为第 期独有的截距项，并将其解释为 第 期 对被解释变量 的效应。于是，这些 称为 时间固定效应 （time fixed effects）。
显然，这个模型可以用 LSDV 法来估计，即对每时期定义一个虚拟变量，然后把 个时间虚拟变量包括在回归方程中，比如：
其中，时间虚拟变量 如果 否则 。对于上面的式子，既考虑了个体固定效应（ 的 ）、又考虑了时间固定效应（ 的 ），所以称为 双向固定效应 （Two-way FE）。相应的，如果仅考虑个体固定效应（如15.4.1 的模型）则称为 单向固定效应 （One-way FE）。
有些情况，为了节省参数，可以引入时间趋势项，以代替 个时间虚拟变量：
显然，这个式子隐含着一个较强的假定：每个时期的时间效应应该增长， 随时间 是均匀增长的。
如果此假定不大可能成立，那么就应该使用 a. 的时间虚拟变量法；该方法可以独立估计每一期的时间固定效应，也可以用于判断每期的时间效应是否大致相等。