首先,要使区间 [ a-1, 2a ] 有意义,必须有: a-1<2a ,所以 a>-1 .
由于是偶函数,所以根据图像可以判断, f(x) 一定是二次函数,或常数函数,不可能是一次函数。
(1)是常数函数:则 a=0, b=0 ,此时 f(x)=3a+b , f(x)=0 ,即:函数图像与 x 轴重合。
当 x∈ [ -1, 0 ] 时,函数值恒为0,因此,值域为 { 0 } .
(2)是二次函数:则 a≠0 ,且 f(x)=ax²+bx+3a+b 以 y 轴为对称轴,所以, = 0 ,b=0 .
f(x)=ax²+3a .
当 -1<a<0 时,开口向下,此时 a-1<2a<0 ,区间在对称轴左侧,所以根据图像可知
最小值为 f(a-1)=a(a-1)²+3a ,最大值为 f(2a)=a(2a)²+3a ;
当 0<a≤1/3 时,开口向上,此时 a-1<0<2a ,且 |a-1|≥|2a|,所以根据图像可知
最小值为 f(0)=3a ,最大值为 f(a-1)=a(a-1)²+3a ;
当 1/3<a<1 时,开口向上,此时 a-1<0<2a ,且 |a-1|<|2a|,所以根据图像可知
最小值为 f(0)=3a ,最大值为 f(2a)=a(2a)²+3a ;
当 a≥1 时,开口向上,此时 0≤a-1<2a ,区间在对称轴右侧,所以根据图像可知
最小值为 f(a-1)=a(a-1)²+3a ,最大值为 f(2a)=a(2a)²+3a ;
综上所述,共有 5 种情况:
当 -1<a<0 时,值域为 [ a(a-1)²+3a, a(2a)²+3a ] ;
当 a=0 时,值域为 { 0 } ;
当 0<a≤1/3 时,值域为 [ 3a, a(a-1)²+3a ] ;
当 1/3<a<1 时,值域为 [ 3a, a(2a)²+3a ] ;
当 a≥1 时,值域为 [ a(a-1)²+3a, a(2a)²+3a ] .
注:以上结果未化简,请自行去括号化简