微积分如何求解？

Question

如题所述

Answer 1

首先，根据题目中给定的微分方程 y' + y = e^x，我们可以使用一阶线性常微分方程的解法来求解。
将原方程进行变形：
y' = e^x - y
然后将其标准化为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) = 1，Q(x) = e^x，得到：
y' + y = e^x
下面使用常数变易法来求解特解。首先，写出齐次方程 y' + y = 0 的通解：
y_h = C*e^(-x)
其中 C 是常数。
然后，令常数 C 为一个关于 x 的函数 C(x) ，即 C=C(x)，代入非齐次方程中，得到：
C'(x)e^(-x) + C(x)*(-e^(-x)) + C(x)*e^x = e^x
化简可得：
C'(x)*e^(-x) = e^(2x)
解得：
C(x) = -1/2*e^x + A
其中 A 是常数。
因此，特解为：
y_p = (-1/2)e^x + Ae^(-x)
代入初始条件 x = 0, y = 2 可以得到：
A = (y_0 + 1/2)*e^x_0 = (2+1/2)*1 = 5/2
因此，特解为：
y = (-1/2)*e^x + (5/2)*e^(-x) + 2
经过检验，可以发现 y = (-1/2)*e^x + (5/2)*e^(-x) + 2 满足原微分方程和初始条件。