（I）f(x)=1/3x^3+1-a/2x^2-ax-a
求导得f'(x)=x^2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f'(x)=0得x_1=-1,x_2=a>0.
当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下：
故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞)；单调区间是(-1,a)
（II）由（I）知f(x)在区间（-2，-1）内单调递增，在区间(-1,0)内单调递减，
从而函数f(x)在区间(-2,0)内惟有两个零点当且仅当{(f(-2)<0),(f(-1)>0),(f(0)<0)}。
解得0<a<1/3，所以，a的取值范围是(0,1/3)。
（III）a=1时，f(x)=1/3x^3-x-1.
由(I)知f(x)在[-3,-1]上单调递增，在[-1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增.
(1)当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增，在[-1,t+3]上单调增减.
因此，f(x)在[t,t+3]上的最大值Max(t)=f(-1)=-1/3，而最小值Min(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.
由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知，当t∈[-3,-2]时，f(t)<=f(t+3)，故Min(t)=f(t)，所以g(t)=f(-1)-f(t)，而f(t)在[-3,-2]上单调递增。
因此，f(t)<=f(-2)=-5/3.所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为g(-2)=-1/3-(-5/3)=4/3。
(2)当t∈[-2,-1]时，t+3∈[1,2]且{-1,1}∈[t,t+3]
下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小
由f(x)在[-2,-1]，[1,2]上单调递增。
那么f(-2)<=f(t)<=f(-1)
f(1)<=f(t+3)<=f(2)
又由f(1)=f(-2)=-5/3,f(-1)=f(2)=-1/3，从而Max(t)=f(-1)=-1/3,Min(t)=f(1)=-5/3。所以g(t)=M(t)-m(t)=4/3。
综上，函数g(t)在区间[-3,-1]的最小值为4/3。
如果有不清楚的地方，可追问。本回答被提问者采纳