求救！一道高数题（用微分解）谢谢！

Question

设在一小岛上饲养梅花鹿，开始时只有10只。由于受到食物、生存空间等环境因素的限制，最多只能生存2500。已知鹿的处群数量N（t）的增长速度与“剩余空间”（2500-N）成正比，5年后鹿群数量990只，试求鹿群数量N（t）的函数表达式。

Answer 1

你好！
dN(t)/dt=k(2500-N(t))
则dt=dN(t)/k(2500-N(t))
稍微化简得dt=-{d[1-N(t)/2500]/[1-N(t)/2500]}/k
得2500[1-e^-k(t+c)]=N(t)
在代入t=0时N(t)=10
t=5时N(t)=990
希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 2

鹿的处群数量N（t）的增长速度与“剩余空间”（2500-N）成正比
dN(t)/dt=k(2500-N(t))
则微分方程为一阶
非齐次方程
：
则
N(t)=e^(-kt)(C+2500e^(kt))=Ce^(-kt)+2500
开始时只有10只
5年后
鹿群
数量990只
带入得：
C+2500=10
Ce^5k+2500=990
则，C=-2490
k=-0.1
所以：N（t)=2500-2490e(-0.1t)