高等数学题 求过程

Question

求下列微分方程所给初始条件的特解：

Answer 1

令F=ysinx+cos^2x，G=-cosx
因为∂F/∂y=∂G/∂x=sinx
所以此微分方程为全微分方程
d[-ycosx+(1/4)*sin2x+1/2]=0
-ycosx+(1/4)*sin2x+1/2=C，其中C是任意常数

因为y(π)=1

所以-1*cosπ+(1/4)*sin(2π)+1/2=C
C=3/2
所以-ycosx+(1/4)*sin2x+1/2=3/2
ycosx=(1/4)*sin2x-1
y=secx*[(1/4)*sin2x-1]

Answer 2

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Answer 3

求微分方程(ysinx+cos²x)dx-cosxdy=0，满足初始条件y(π)=1的特解；
解：P=ysinx+cos²x； Q=-cosx；由于∂P/∂y=sinx=∂Q/∂x，
∴此方程是全微分方程；其通解u(x，y):
u(x，y)=∫【0，x】(ysinx+cos²x)dx=-ycosx+(1/2)[x+(1/2)sin2x]=C;
代入初始条件 x=π，y=1得：c=1+(π/2);
故满足初始条件的特解为：u(x，y)=-ycosx+(1/2)[x+(1/2)sin2x]=1+(π/2)............①;
【检验】对①式两边取微分得：
du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=[ysinx+(1/2)(1+cos2x)]dx-cosxdy
=(ysinx+cos²x)dx-cosxdy=0；故完全正确。本回答被网友采纳