已知n为大于1的自然数,证明：(1+1/n)^n>2 数学归纳法,二项式定理皆可

Question

已知n为大于1的自然数,证明：(1+1/n)^n>2 数学归纳法,二项式定理皆可

Answer 1

为解决这题,有必要引进一个加强不等式：【若n>=1
n为整数,x>=-1我们有（1+x)^n>=1+nx此即为伯努利不等式证明如下：用数学归纳法:当n=1,上式成立,设对n-1,有:(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,则
(1+x)^n=(1+x)^(n-1)(1+x)>=[1+(n-1)x](1+x)
=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2
>=1+nx
等号当且仅当n=1时就是对一切的自然数,当
x>=-1,有
(1+x)^n>=1+nx
】有了这个理论,这个问题就直接证明了,这是由于：取x=1/n时显然大于-1此时（1+1/n)^n>1+n*1/n=2OK~