T-test的基础，要从张三说起。 张三是个果农，张三自从上次自学了T test后，他的苹果就拥有了数学基因，得到了中小学家长的疯狂抢购，生意是蒸蒸日上。有钱人张三过上了富足生活，却觉得日渐乏味，于是养了一条宠物犬，天天喂它鸡鸭鱼肉，狗狗日渐丰满。
但是，张三还是喜欢苗条的狗狗，于是决定不能再放纵下去了，天天唠叨： 你看看你，又胖了。 狗狗， 矢口否认， 汪汪汪 。
学过统计的张三不甘示弱，张三祭出了他的苹果秤！ 我们用数据说话。
上有计策，下有对策。狗狗在秤上蹦蹦跳跳，不得安定，读数也就没那么准确了。
张三悠然的写出以下计算过程（有疑问的可以回顾往期文章）
我们记 上个月体重为a， 这个月为b， 有
我们假设体重没变化，来计算取得0.3这样的变化的概率。为了得到一个标准的t-分布，我们计算t值
，
这个值就是t值，此时的分布是一个标准的t-分布，不需要考虑SE了，但需要考虑自由度，自由度为 5+5-2 =8，
如果体重没变化，这个t值应该遵从均值为0， 自由度为8的t-分布。 查表可知，2.16这个值对应的双尾p值为0.063， p > 0.05, 狗狗的体重没有显著变重， 数据的平均值的有6%的概率是偶然产生的。
过了几天，张三还是心有不服，说数据太少了，多测几次才有，于是乎，这次李梅再次上秤，又测了三次，分别为 6.67kg，6.78kg, 6.65kg
于是乎，a = [6.61, 6.72, 6.66, 6.50, 6.58], b = [6.88, 6.73, 6.69, 6.72, 6.64，6.67，6.78, 6.65]，这就面临一个问题了，当我们的样本量不相等时，是否还可以用之前的计算方式。
张三查阅了各种资料发现，在假设相等方差时，通用的计算标准误SE的方法为pooled variance， 公式为
我们可以看到，pooled variance 所用的 sum of square 其实就是两个样本sum of square 的和，我们假设两个Sample方差相等，所以可以使用这个variance来代表这两个sample的variance， 所以叫pooled variance。
在这里，我们发现当sample size 相等时，这两个公式算出的SE是一样的。
张三拿到了这个公式，很开心地把数字代入， 算得SE = 0.046， t=2.306， p = 0.0416。于是他终于有理由管住狗狗的嘴了。
但与此同时，他在好奇心的驱使下，越来越想知道，当我们预设方差不等时，我们要如何计算p值。
我们看一下原来的公式
variance 是通过两个样本variance直接相加得出的， 对样本方差无假设，所以在这里是可以直接用，算得SE = 0.046
但是，骨感的现实需要让我们对Degree of freedom做一定的modification（welch modification）才能最大概率的接近真实。
新的Degree of freedom公式为：
好，这个公式很丑，但我们带入公式后，可得 df = 8.32
t = 2.28，p = 0.052
综上，小狗狗可能并没有显著变重。
故事到了这里，可能同学们就要发问了，像这种假设方差相等和不等时，p值一个显著一个不显著的情况，我们如何是好
最后，附上一份Excel文件，里面有Excel计算P值的方法
（可以使用两组数据求T test，也可以直接输入sd和mean,sample size求p值)。
2020-05-11