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设A为n阶矩阵B为m阶矩阵
设A为m阶
对称矩阵,
B为m
*
n矩阵
,证明B的转置乘
AB为n阶
对称矩阵
答:
B^TAB显然是一个
n阶矩阵
。(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB 故B的 转置 乘
AB为n阶
对称矩阵
若AB=BA,AC=CA,证明:A,
B
,C
是
同
阶矩阵
。该如何证明呢?
答:
由于A和B能做乘法,所以A的列数=B的行数,否则矩阵乘法无法进行。同样B和A也能做乘法,所以B的列数=A的行数。
设A是m
*
n矩阵
,则B一定
是n
*
m矩阵
。那么AB就是m*m矩阵,BA就是n*n矩阵。由AB=BA可知m=n.所以A和
B是
同
阶方阵
。同理:A和C也是同阶方阵。数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算...
a是m
*
n矩阵
,
b是n
*
m矩阵
,ab是几阶矩阵?如果
是m阶矩阵
,为什么?题目中未说 ...
答:
因为矩阵乘法ab要求的是a的列数与b的行数相同,所以所得的结果ab的行数由第一个矩阵的的行数确定,即m,列数数由第二个矩阵的的列数确定,即m,就变成了
m阶矩阵
设A为m
*
n阶矩阵
,对任何的m维列向量b,AX=b有解,则AT*A可逆为何不对
答:
"对任何的
m
维列向量
b
,AX=b有解"这说明 r(A)=m (A^TA) = r(A) = m 但 A^TA
是n阶方阵
,n可能大于m.所以 A^TA 不一定可逆.
设A为m阶
可逆
矩阵
,
B为n阶
可逆矩阵,则分块对角矩阵C=(A00B)也可逆,且其...
答:
因为C×C^(-1)=C^(-1)×C=E(2n)C= A O O
B
E(2n)= E(
n
) O O E(n)因为C与E(2n)均为分块对角
矩阵
所以根据分块矩阵的乘法 C^(-1)= A^(-1) O O B^(-1)
1.
A是M
x N的
矩阵
。
B是N
x S 的矩阵。若r(A)=N 求证:r(AB)=r(B)
答:
1. 证明: 显然BX=0的解都是ABX=0的解.设X1是ABX=0的解, 则
AB
X1=0 即BX1是AX=0的解.由于 r(A)=
N
, 知 AX=0 只有零解 所以有 BX1=0 即 X1 是BX=0的解.所以 BX=0 与 ABX=0 同解.所以 它们的基础解系所含的向量个数相同 即有 s-r(B) = s-r(AB)所以 r(AB)=r(B)....
刘老师,
设A为n阶
非奇异矩阵,
B为
n×
m矩阵
,试证:A与B之积的秩等于B的秩...
答:
证明:
A为n阶
非奇异
矩阵
,则A是若干初等矩阵的乘积,于是AB相当于对B进行了若干次行初等变换,初等变换不改变矩阵的秩 所以r(AB)=r(B)
设A为m阶
实对称
矩阵
且正定,
B为m
×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证BTAB...
答:
必要性(?)设BTA
B为
正定
矩阵
,则对于任意的实n维列向量x≠0,都有:xTBTABx>0,即(Bx)TA(Bx)>0.所以:Bx≠0.因此,Bx=0只有零解,故有r(B)=
n
.充分性(?)如果r(B)=n,则线性方程组Bx=0只有零解,从而对于任意的实n维列向量x≠0,都有:Bx≠0.又因为
A为
正定矩阵,故...
设A是n
×
m矩阵
,
B是m
×
n矩阵
其中n<m,E
是n阶
单位矩阵,若AB=E,证明B的...
答:
简单计算一下即可,答案如图所示
设A为m
*
n矩阵
,并且r(A)=n,又
B为n阶矩阵
,求证:如果AB=0则B=0,如果AB=...
答:
r(A)=n,那么说明A有n行是线性无关的,把这n行取出来,设为
矩阵
C,那么由AB=0可知CB=0,而C
是n
*n的矩阵且秩
为n
,即是线性无关的,CB=0两边同时乘以C的逆矩阵,得到B=0 AB=A同理得到CB=C,进而B=E
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