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奇异矩阵的特征值和特征向量
什么是
矩阵的特征值和特征向量
答:
1、对于一个n×m的矩阵A,其中n和m分别表示矩阵的行数和列数。
特征值
的个数最多为min(n, m),即特征值个数不超过矩阵的维度较小的那一维。2、如果一个n×n的方阵A是不可逆的(
奇异矩阵
),则它的秩为小于n,相应地,特征值的个数也会小于n。3、特征值的个数
与矩阵的
性质有关。例如,...
特征值
、
特征向量
和
奇异值
答:
这里 就是上面的右
奇异向量
,另外还有:这里的 就是奇异值, 就是上面说的左奇异向量。【证明那个哥们也没给】
奇异值 跟特征值
类似,在
矩阵
中也是从大到小排列,而且 的减少特别的快,在很多情况下,前10%甚至1%的
奇异值的
和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说,...
如何求解
特征值和特征向量
?
答:
1、特征值分解 特征值分解是一种将一个矩阵分解为
特征向量和特征
值的方法。具体步骤如下:首先,对给定的矩阵进行特征值求解,得到
矩阵的特征值
。接着,针对每个特征值,求解对应的特征向量。最后,将得到的特征向量按列排列成一个矩阵,即可得到特征向量矩阵。2、
奇异值
分解 奇异值分解是一种将一个矩阵...
矩阵的特征值和特征向量
有什么性质?
答:
性质:(1)设有N阶
矩阵
A,那么矩阵A的迹(用tr(A)表示)就等于A
的特征值
的总和,也即矩阵A的主对角线元素的总和。1.迹是所有主对角元素的和2.迹是所有特征值的和3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹4.tr(mA+mB)=m*tr(A)+n*tr(B)(2)
奇异值
分解(Singular value decomposition ...
特征值和特征向量
为什么相同?
答:
AB)=tr(BA)来求迹。
奇异值
分解非常有用,对于
矩阵
A(p*q),存在U(p*p),V(q*q),B(p*q)(由对角阵与增广行或列组成),满足A = U*B*V,U和V中分别是A的
奇异向量
,而B是A的奇异值。AA'
的特征向量
组成U,
特征值
组成B'B,A'A的特征向量组成V,特征值(与AA'相同)组成BB'。
矩阵
A
的特征值与特征向量
如何求解?
答:
因为v不为零向量,所以(A-λI)必须是
奇异矩阵
,即其行列式为0。因此,求解矩阵A
的特征值
需要解方程|A-λI|=0。解得矩阵A的特征值λ后,我们可以通过求解线性方程组(A-λI)v=0得到对应的
特征向量
v。具体来讲,我们可以将(A-λI)化为阶梯形矩阵或初等
矩阵的
形式,从而求解出v。注意,对于重复...
矩阵的特征值和特征向量
有关系吗?
答:
相似的矩阵必有相同
的特征值
,但不一定有相同的
特征向量
。如果A相似B,则存在非
奇异矩阵
是P,有P^(-1)*A*P=B。det(xI-B)=det(xI-P^(-1)*A*P)=det(P^(-1))=det(xI-A*)det*P)=det(xI-A)。即B的特征多项式与A的特征多项式相同,故有相同的特征值。如果A的特征向量是a的,则B的...
什么是
奇异矩阵
?怎样判断它的
奇异值
呢?
答:
奇异矩阵是线性代数的概念,就是对应的行列式等于0的矩阵。
奇异矩阵的
判断方法:首先,看这个矩阵是不是方阵,即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等,那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵)。然后,再看此方阵的行列式|A|是否等于0,若等于0,称矩阵A为奇异矩阵;若不等于0,称矩阵A为非奇异矩阵...
什么是
矩阵的特征值和特征向量
?
答:
方便讨论和计算。由于
矩阵的特征值和特征向量
在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置, 因此矩阵的特征值分解。尽管矩阵的特征值具有非常好的性质,但是并不是总能正确地表示矩阵的“大小”。矩阵的奇异值和按奇异值分解是矩阵理论和应用中十分重要的内容。
什么是
矩阵的特征值和特征向量
?
答:
BA =E(E是单位矩阵),则 A 为非
奇异矩阵
(或称可逆矩阵),B为A的逆阵。矩阵非奇异(可逆)当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当且仅当它的每个
特征值
大于或等于零。矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。解线性方程组的克拉默法则。
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